初级微积分示例

$\cos (\arcsin (\frac{1}{3} x))$

解题步骤 1

使用指数书写表达式。

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解题步骤 1.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{3} x)}^{2}}, \frac{1}{3} x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{3} x)}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\frac{1}{3} x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{3} x)}^{2}}, \frac{1}{3} x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (\frac{1}{3} x))$ 为 $\sqrt{1 - {(\frac{1}{3} x)}^{2}}$ 。

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{3} x)}^{2}}$

解题步骤 1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{3} x)}^{2}}$

解题步骤 2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{1}{3} x$ 。

$\sqrt{(1 + \frac{1}{3} x) (1 - (\frac{1}{3} x))}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x$ 。

$\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - (\frac{1}{3} x))}$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x$ 。

$\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}$

解题步骤 4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})}$

解题步骤 6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})}$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}}$

解题步骤 8

将 $\frac{3 + x}{3}$ 乘以 $\frac{3 - x}{3}$ 。

$\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 9

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}}$

解题步骤 10

将 $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ 重写为 ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ 。

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解题步骤 10.1

从 $(3 + x) (3 - x)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

解题步骤 10.2

从 $9$ 中因式分解出完全幂数 $3^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 10.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ 。

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

解题步骤 11

从根式下提出各项。

$\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 。

$\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

初级微积分 示例

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