初级微积分示例

$\frac{x^{2} - 11 x - 18}{x (x^{2} + 3 x + 3)}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.2

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x (x^{2} + 3 x + 3)$ 。

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.4

约去 $x^{2} + 3 x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.4.2

用 $x^{2} - 11 x - 18$ 除以 $1$ 。

$x^{2} - 11 x - 18 = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1

约去公因数。

$x^{2} - 11 x - 18 = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.5.1.2

用 $A (x^{2} + 3 x + 3)$ 除以 $1$ 。

$x^{2} - 11 x - 18 = A (x^{2} + 3 x + 3) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.5.2

运用分配律。

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + A (3 x) + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.5.3

化简。

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解题步骤 1.5.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.5.3.2

将 $3$ 移到 $A$ 的左侧。

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.5.4

约去 $x^{2} + 3 x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.1

约去公因数。

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.5.4.2

用 $(B x + C) (x)$ 除以 $1$ 。

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + (B x + C) (x)$

解题步骤 1.5.5

运用分配律。

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x \cdot x + C x$

解题步骤 1.5.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.6.1

移动 $x$ 。

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B (x \cdot x) + C x$

解题步骤 1.5.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + C x$

解题步骤 1.6

化简表达式。

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解题步骤 1.6.1

移动 $A$ 。

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + C x$

解题步骤 1.6.2

将 $B$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + C x$

解题步骤 1.6.3

移动 $3 A$ 。

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 x A + B x^{2} + C x + 3 A$

解题步骤 1.6.4

移动 $3 x A$ 。

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + B x^{2} + 3 x A + C x + 3 A$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + B$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 11 = 3 A + C$

解题步骤 2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 18 = 3 A$

解题步骤 2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$- 18 = 3 A$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$- 18 = 3 A$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $- 18 = 3 A$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $3 A = - 18$ 。

$3 A = - 18$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

解题步骤 3.1.2

将 $3 A = - 18$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $3 A = - 18$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

解题步骤 3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

解题步骤 3.1.2.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

解题步骤 3.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.2.3.1

用 $- 18$ 除以 $3$ 。

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- 6$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $- 6$ 替换 $1 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$1 = (- 6) + B$

$A = - 6$

$- 11 = 3 A + C$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

去掉圆括号。

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = 3 A + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = 3 A + C$

解题步骤 3.2.3

使用 $- 6$ 替换 $- 11 = 3 A + C$ 中所有出现的 $A$ .

$- 11 = 3 (- 6) + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

解题步骤 3.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $3$ 乘以 $- 6$ 。

$- 11 = - 18 + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = - 18 + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = - 18 + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

解题步骤 3.3

在 $- 11 = - 18 + C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $- 18 + C = - 11$ 。

$- 18 + C = - 11$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $18$ 。

$C = - 11 + 18$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 11$ 和 $18$ 相加。

$C = 7$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$C = 7$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$C = 7$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $7$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $- 6 + B = 1$ 。

$- 6 + B = 1$

$C = 7$

$A = - 6$

解题步骤 3.4.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.4.2.1

在等式两边都加上 $6$ 。

$B = 1 + 6$

$C = 7$

$A = - 6$

解题步骤 3.4.2.2

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$B = 7$

$C = 7$

$A = - 6$

$B = 7$

$C = 7$

$A = - 6$

$B = 7$

$C = 7$

$A = - 6$

解题步骤 3.5

列出所有解。

$B = 7, C = 7, A = - 6$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$- \frac{6}{x} + \frac{7 x + 7}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 5

将 $7$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 6}{x} + \frac{7 x + 7}{x^{2} + 3 x + 3}$

初级微积分 示例

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