初级微积分示例

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x^{3} - 4 x}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

从 $x^{3} - 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x \cdot x^{2} - 4 x}$

解题步骤 1.1.1.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4}$

解题步骤 1.1.1.3

从 $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x (x^{2} - 4)}$

解题步骤 1.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x (x^{2} - 2^{2})}$

解题步骤 1.1.3

因数。

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解题步骤 1.1.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x ((x + 2) (x - 2))}$

解题步骤 1.1.3.2

去掉多余的括号。

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}$

解题步骤 1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $C$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 2}$

解题步骤 1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x (x + 2) (x - 2)$ 。

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x (x + 2) (x - 2))}{x (x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x (x + 2) (x - 2))}{x (x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.5.2

重写表达式。

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.6

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1

约去公因数。

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.6.2

重写表达式。

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.7

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1

约去公因数。

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.7.2

用 $x^{2} + 12 x + 12$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + 12 x + 12 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8

化简每一项。

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解题步骤 1.8.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.1.1

约去公因数。

$x^{2} + 12 x + 12 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.1.2

用 $A ((x + 2) (x - 2))$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + 12 x + 12 = A ((x + 2) (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 1.8.2.1

运用分配律。

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x (x - 2) + 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.2.2

运用分配律。

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.2.3

运用分配律。

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.3

合并 $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 1.8.3.1

按照 $x \cdot - 2$ 和 $2 x$ 重新排列因数。

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.3.2

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.3.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.4

化简每一项。

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解题步骤 1.8.4.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x^{2} + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.4.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x^{2} - 4) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.5

运用分配律。

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.6

将 $- 4$ 移到 $A$ 的左侧。

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.7

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.7.1

约去公因数。

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + \frac{B (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.7.2

用 $(B) (x (x - 2))$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + (B) (x (x - 2)) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.8

运用分配律。

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x \cdot x + x \cdot - 2) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.9

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x^{2} + x \cdot - 2) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.10

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x^{2} - 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.11

运用分配律。

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} + B (- 2 x) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.12

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.13

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.13.1

约去公因数。

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + \frac{C (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.8.13.2

用 $(C) (x (x + 2))$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + (C) (x (x + 2))$

解题步骤 1.8.14

运用分配律。

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x \cdot x + x \cdot 2)$

解题步骤 1.8.15

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x^{2} + x \cdot 2)$

解题步骤 1.8.16

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x^{2} + 2 \cdot x)$

解题步骤 1.8.17

运用分配律。

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x^{2} + C (2 x)$

解题步骤 1.8.18

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x^{2} + 2 C x$

解题步骤 1.9

化简表达式。

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解题步骤 1.9.1

移动 $B$ 。

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 x B + C x^{2} + 2 C x$

解题步骤 1.9.2

移动 $- 4 A$ 。

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} + B x^{2} - 2 x B + C x^{2} + 2 C x - 4 A$

解题步骤 1.9.3

移动 $- 2 x B$ 。

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - 2 x B + 2 C x - 4 A$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + B + C$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$12 = - 2 B + 2 C$

解题步骤 2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$12 = - 4 A$

解题步骤 2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$12 = - 4 A$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$12 = - 4 A$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $12 = - 4 A$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $- 4 A = 12$ 。

$- 4 A = 12$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

解题步骤 3.1.2

将 $- 4 A = 12$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $- 4 A = 12$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

解题步骤 3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

解题步骤 3.1.2.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

解题步骤 3.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.2.3.1

用 $12$ 除以 $- 4$ 。

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- 3$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $- 3$ 替换 $1 = A + B + C$ 中所有出现的 $A$ .

$1 = (- 3) + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

去掉圆括号。

$1 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

解题步骤 3.3

在 $1 = - 3 + B + C$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $- 3 + B + C = 1$ 。

$- 3 + B + C = 1$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$B + C = 1 + 3$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

解题步骤 3.3.2.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$B = 1 + 3 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

解题步骤 3.3.2.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $4 - C$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $4 - C$ 替换 $12 = - 2 B + 2 C$ 中所有出现的 $B$ .

$12 = - 2 (4 - C) + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 $- 2 (4 - C) + 2 C$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

运用分配律。

$12 = - 2 \cdot 4 - 2 (- C) + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$12 = - 8 - 2 (- C) + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

解题步骤 3.4.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$12 = - 8 + 2 C + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 2 C + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $2 C$ 和 $2 C$ 相加。

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

解题步骤 3.5

在 $12 = - 8 + 4 C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $- 8 + 4 C = 12$ 。

$- 8 + 4 C = 12$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

解题步骤 3.5.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.5.2.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$4 C = 12 + 8$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

解题步骤 3.5.2.2

将 $12$ 和 $8$ 相加。

$4 C = 20$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$4 C = 20$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

解题步骤 3.5.3

将 $4 C = 20$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.5.3.1

将 $4 C = 20$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 C}{4} = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

解题步骤 3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 C}{4} = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

解题步骤 3.5.3.2.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

解题步骤 3.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.3.1

用 $20$ 除以 $4$ 。

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

解题步骤 3.6

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $5$ 。

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解题步骤 3.6.1

使用 $5$ 替换 $B = 4 - C$ 中所有出现的 $C$ .

$B = 4 - (5)$

$C = 5$

$A = - 3$

解题步骤 3.6.2

化简右边。

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解题步骤 3.6.2.1

化简 $4 - (5)$ 。

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解题步骤 3.6.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$B = 4 - 5$

$C = 5$

$A = - 3$

解题步骤 3.6.2.1.2

从 $4$ 中减去 $5$ 。

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

解题步骤 3.7

列出所有解。

$B = - 1, C = 5, A = - 3$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 2}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$- \frac{3}{x} + \frac{- 1}{x + 2} + \frac{5}{x - 2}$

初级微积分 示例

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