初级微积分示例

$\frac{6 x^{4} + 10 x^{3} + 13 x^{2} - 5 x + 2}{2 x^{2} - 1}$

解题步骤 1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x^{2}$

+

$0 x$

-

$1$

$6 x^{4}$

+

$10 x^{3}$

+

$13 x^{2}$

-

$5 x$

+

$2$

解题步骤 2

将被除数中的最高阶项 $6 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 。

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

+

$0 x$

-

$1$

$6 x^{4}$

+

$10 x^{3}$

+

$13 x^{2}$

-

$5 x$

+

$2$

解题步骤 3

将新的商式项乘以除数。

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

+

$0 x$

-

$1$

$6 x^{4}$

+

$10 x^{3}$

+

$13 x^{2}$

-

$5 x$

+

$2$

+

$6 x^{4}$

+

$0$

-

$3 x^{2}$

解题步骤 4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $6 x^{4} + 0 - 3 x^{2}$ 中的所有符号

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

+

$0 x$

-

$1$

$6 x^{4}$

+

$10 x^{3}$

+

$13 x^{2}$

-

$5 x$

+

$2$

-

$6 x^{4}$

-

$0$

+

$3 x^{2}$

解题步骤 5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

+

$0 x$

-

$1$

$6 x^{4}$

+

$10 x^{3}$

+

$13 x^{2}$

-

$5 x$

+

$2$

-

$6 x^{4}$

-

$0$

+

$3 x^{2}$

+

$10 x^{3}$

+

$16 x^{2}$

解题步骤 6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

+

$0 x$

-

$1$

$6 x^{4}$

+

$10 x^{3}$

+

$13 x^{2}$

-

$5 x$

+

$2$

-

$6 x^{4}$

-

$0$

+

$3 x^{2}$

+

$10 x^{3}$

+

$16 x^{2}$

-

$5 x$

解题步骤 7

将被除数中的最高阶项 $10 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 。

$3 x^{2}$

+

$5 x$

$2 x^{2}$

+

$0 x$

-

$1$

$6 x^{4}$

+

$10 x^{3}$

+

$13 x^{2}$

-

$5 x$

+

$2$

-

$6 x^{4}$

-

$0$

+

$3 x^{2}$

+

$10 x^{3}$

+

$16 x^{2}$

-

$5 x$

解题步骤 8

将新的商式项乘以除数。

$3 x^{2}$

+

$5 x$

$2 x^{2}$

+

$0 x$

-

$1$

$6 x^{4}$

+

$10 x^{3}$

+

$13 x^{2}$

-

$5 x$

+

$2$

-

$6 x^{4}$

-

$0$

+

$3 x^{2}$

+

$10 x^{3}$

+

$16 x^{2}$

-

$5 x$

+

$10 x^{3}$

+

$0$

-

$5 x$

解题步骤 9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $10 x^{3} + 0 - 5 x$ 中的所有符号

$3 x^{2}$

+

$5 x$

$2 x^{2}$

+

$0 x$

-

$1$

$6 x^{4}$

+

$10 x^{3}$

+

$13 x^{2}$

-

$5 x$

+

$2$

-

$6 x^{4}$

-

$0$

+

$3 x^{2}$

+

$10 x^{3}$

+

$16 x^{2}$

-

$5 x$

-

$10 x^{3}$

-

$0$

+

$5 x$

解题步骤 10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x^{2}$

+

$5 x$

$2 x^{2}$

+

$0 x$

-

$1$

$6 x^{4}$

+

$10 x^{3}$

+

$13 x^{2}$

-

$5 x$

+

$2$

-

$6 x^{4}$

-

$0$

+

$3 x^{2}$

+

$10 x^{3}$

+

$16 x^{2}$

-

$5 x$

-

$10 x^{3}$

-

$0$

+

$5 x$

+

$16 x^{2}$

+

$0$

解题步骤 11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$3 x^{2}$

+

$5 x$

$2 x^{2}$

+

$0 x$

-

$1$

$6 x^{4}$

+

$10 x^{3}$

+

$13 x^{2}$

-

$5 x$

+

$2$

-

$6 x^{4}$

-

$0$

+

$3 x^{2}$

+

$10 x^{3}$

+

$16 x^{2}$

-

$5 x$

-

$10 x^{3}$

-

$0$

+

$5 x$

+

$16 x^{2}$

+

$0$

+

$2$

解题步骤 12

将被除数中的最高阶项 $16 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 。

$3 x^{2}$

+

$5 x$

+

$8$

$2 x^{2}$

+

$0 x$

-

$1$

$6 x^{4}$

+

$10 x^{3}$

+

$13 x^{2}$

-

$5 x$

+

$2$

-

$6 x^{4}$

-

$0$

+

$3 x^{2}$

+

$10 x^{3}$

+

$16 x^{2}$

-

$5 x$

-

$10 x^{3}$

-

$0$

+

$5 x$

+

$16 x^{2}$

+

$0$

+

$2$

解题步骤 13

将新的商式项乘以除数。

$3 x^{2}$

+

$5 x$

+

$8$

$2 x^{2}$

+

$0 x$

-

$1$

$6 x^{4}$

+

$10 x^{3}$

+

$13 x^{2}$

-

$5 x$

+

$2$

-

$6 x^{4}$

-

$0$

+

$3 x^{2}$

+

$10 x^{3}$

+

$16 x^{2}$

-

$5 x$

-

$10 x^{3}$

-

$0$

+

$5 x$

+

$16 x^{2}$

+

$0$

+

$2$

+

$16 x^{2}$

+

$0$

-

$8$

解题步骤 14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $16 x^{2} + 0 - 8$ 中的所有符号

$3 x^{2}$

+

$5 x$

+

$8$

$2 x^{2}$

+

$0 x$

-

$1$

$6 x^{4}$

+

$10 x^{3}$

+

$13 x^{2}$

-

$5 x$

+

$2$

-

$6 x^{4}$

-

$0$

+

$3 x^{2}$

+

$10 x^{3}$

+

$16 x^{2}$

-

$5 x$

-

$10 x^{3}$

-

$0$

+

$5 x$

+

$16 x^{2}$

+

$0$

+

$2$

-

$16 x^{2}$

-

$0$

+

$8$

解题步骤 15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x^{2}$

+

$5 x$

+

$8$

$2 x^{2}$

+

$0 x$

-

$1$

$6 x^{4}$

+

$10 x^{3}$

+

$13 x^{2}$

-

$5 x$

+

$2$

-

$6 x^{4}$

-

$0$

+

$3 x^{2}$

+

$10 x^{3}$

+

$16 x^{2}$

-

$5 x$

-

$10 x^{3}$

-

$0$

+

$5 x$

+

$16 x^{2}$

+

$0$

+

$2$

-

$16 x^{2}$

-

$0$

+

$8$

+

$10$

解题步骤 16

最终答案为商加上余数除以除数。

$3 x^{2} + 5 x + 8 + \frac{10}{2 x^{2} - 1}$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$