初级微积分示例

${(\sqrt{2 x} + \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 1

使用二项式定理。

${\sqrt{2 x}}^{3} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

将 ${\sqrt{2 x}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{(2 x)}^{3}}$ 。

$\sqrt{{(2 x)}^{3}} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.2

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\sqrt{2^{3} x^{3}} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\sqrt{8 x^{3}} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.4

将 $8 x^{3}$ 重写为 ${(2 x)}^{2} \cdot (2 x)$ 。

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解题步骤 2.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{4 (2) x^{3}} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{2^{2} \cdot 2 x^{3}} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.4.3

因式分解出 $x^{2}$ 。

$\sqrt{2^{2} \cdot 2 (x^{2} x)} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.4.4

移动 $2$ 。

$\sqrt{2^{2} x^{2} \cdot 2 x} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.4.5

将 $2^{2} x^{2}$ 重写为 ${(2 x)}^{2}$ 。

$\sqrt{{(2 x)}^{2} \cdot 2 x} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.4.6

添加圆括号。

$\sqrt{{(2 x)}^{2} \cdot (2 x)} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.5

从根式下提出各项。

$2 x \sqrt{2 x} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.6

将 ${\sqrt{2 x}}^{2}$ 重写为 $2 x$ 。

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解题步骤 2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x \sqrt{2 x} + 3 {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 x \sqrt{2 x} + 3 {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 x \sqrt{2 x} + 3 {(2 x)}^{\frac{2}{2}} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.4.1

约去公因数。

$2 x \sqrt{2 x} + 3 {(2 x)}^{\frac{2}{2}} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.6.4.2

重写表达式。

$2 x \sqrt{2 x} + 3 {(2 x)}^{1} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.6.5

化简。

$2 x \sqrt{2 x} + 3 (2 x) \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.7

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.1

从 $3 (2 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$2 x \sqrt{2 x} + x (3 \cdot (2)) \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.7.2

约去公因数。

$2 x \sqrt{2 x} + x (3 \cdot (2)) \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.7.3

重写表达式。

$2 x \sqrt{2 x} + 3 \cdot (2) + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.8

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 x \sqrt{2 x} + 6 + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.9

对 $\frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$2 x \sqrt{2 x} + 6 + 3 \sqrt{2 x} \frac{1^{2}}{x^{2}} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.10

一的任意次幂都为一。

$2 x \sqrt{2 x} + 6 + 3 \sqrt{2 x} \frac{1}{x^{2}} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.11

乘以 $3 \sqrt{2 x} \frac{1}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 2.11.1

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $3$ 。

$2 x \sqrt{2 x} + 6 + \frac{3}{x^{2}} \sqrt{2 x} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.11.2

组合 $\frac{3}{x^{2}}$ 和 $\sqrt{2 x}$ 。

$2 x \sqrt{2 x} + 6 + \frac{3 \sqrt{2 x}}{x^{2}} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 2.12

对 $\frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$2 x \sqrt{2 x} + 6 + \frac{3 \sqrt{2 x}}{x^{2}} + \frac{1^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 2.13

一的任意次幂都为一。

$2 x \sqrt{2 x} + 6 + \frac{3 \sqrt{2 x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

初级微积分 示例

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