初级微积分示例

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}})}^{2}}$

解题步骤 1

化简分母。

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解题步骤 1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}})}^{2}}$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

解题步骤 2

将 $\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

解题步骤 3

合并和化简分母。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

解题步骤 3.2

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

解题步骤 3.3

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}})}^{2}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}})}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.6

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

解题步骤 3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

解题步骤 3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.4.1

约去公因数。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

解题步骤 3.6.4.2

重写表达式。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}})}^{2}}$

解题步骤 3.6.5

化简。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})}^{2}}$

解题步骤 4

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.1

对 $\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{1 + \frac{{(x \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}^{2}}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}}$

解题步骤 4.2

对 $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}}$

解题步骤 4.3

对 $(1 + x) (1 - x)$ 运用乘积法则。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 5.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 5.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 5.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 5.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.4.1

约去公因数。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 5.1.4.2

重写表达式。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{1}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 5.1.5

化简。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} ((1 + x) (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 5.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 (1 - x) + x (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 5.3.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 5.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 5.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x - x \cdot x)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 5.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x - (x \cdot x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 5.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 5.3.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 + 0 - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 5.3.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 5.4

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1^{2} - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 5.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

约去 $1 + x$ 和 ${(1 + x)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从 $x^{2} (1 + x) (1 - x)$ 中分解出因数 $1 + x$ 。

$\sqrt{1 + \frac{(1 + x) (x^{2} (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

从 ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}$ 中分解出因数 $1 + x$ 。

$\sqrt{1 + \frac{(1 + x) (x^{2} (1 - x))}{(1 + x) ((1 + x) {(1 - x)}^{2})}}$

解题步骤 6.1.2.2

约去公因数。

$\sqrt{1 + \frac{(1 + x) (x^{2} (1 - x))}{(1 + x) ((1 + x) {(1 - x)}^{2})}}$

解题步骤 6.1.2.3

重写表达式。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x)}{(1 + x) {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 6.2

约去 $1 - x$ 和 ${(1 - x)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $x^{2} (1 - x)$ 中分解出因数 $1 - x$ 。

$\sqrt{1 + \frac{(1 - x) x^{2}}{(1 + x) {(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $(1 + x) {(1 - x)}^{2}$ 中分解出因数 $1 - x$ 。

$\sqrt{1 + \frac{(1 - x) x^{2}}{(1 - x) ((1 + x) (1 - x))}}$

解题步骤 6.2.2.2

约去公因数。

$\sqrt{1 + \frac{(1 - x) x^{2}}{(1 - x) ((1 + x) (1 - x))}}$

解题步骤 6.2.2.3

重写表达式。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 6.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 6.4

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 7.1.1

运用分配律。

$\sqrt{\frac{1 (1 - x) + x (1 - x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 7.1.2

运用分配律。

$\sqrt{\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 7.1.3

运用分配律。

$\sqrt{\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 7.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 7.2.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{1 - x + x + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 7.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\sqrt{\frac{1 - x + x - x \cdot x + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 7.2.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$\sqrt{\frac{1 - x + x - (x \cdot x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 7.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\sqrt{\frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 7.2.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\sqrt{\frac{1 + 0 - x^{2} + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 7.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\sqrt{\frac{1 - x^{2} + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 7.3

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\sqrt{\frac{1 + 0}{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 7.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\sqrt{\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 8

将 $\sqrt{\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 9

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 11

合并和化简分母。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 11.2

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 11.3

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

解题步骤 11.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 11.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

解题步骤 11.6

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 11.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 11.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 11.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 11.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 11.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

解题步骤 11.6.5

化简。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

初级微积分 示例

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