初级微积分示例

$\sqrt{{(2 x + 5)}^{2}} < 11$

解题步骤 1

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${\sqrt{{(2 x + 5)}^{2}}}^{2} < 11^{2}$

解题步骤 2

化简不等式的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{{(2 x + 5)}^{2}}$ 重写成 ${(2 x + 5)}^{\frac{2}{2}}$ 。

${({(2 x + 5)}^{\frac{2}{2}})}^{2} < 11^{2}$

解题步骤 2.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

${({(2 x + 5)}^{1})}^{2} < 11^{2}$

解题步骤 2.3

化简左边。

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解题步骤 2.3.1

将 ${({(2 x + 5)}^{1})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 x + 5)}^{1 \cdot 2} < 11^{2}$

解题步骤 2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

${(2 x + 5)}^{2} < 11^{2}$

解题步骤 2.4

化简右边。

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解题步骤 2.4.1

对 $11$ 进行 $2$ 次方运算。

${(2 x + 5)}^{2} < 121$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{{(2 x + 5)}^{2}} < \sqrt{121}$

解题步骤 3.2

化简方程。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

从根式下提出各项。

$| 2 x + 5 | < \sqrt{121}$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $\sqrt{121}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $121$ 重写为 $11^{2}$ 。

$| 2 x + 5 | < \sqrt{11^{2}}$

解题步骤 3.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$| 2 x + 5 | < | 11 |$

解题步骤 3.2.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $11$ 之间的距离为 $11$ 。

$| 2 x + 5 | < 11$

解题步骤 3.3

将 $| 2 x + 5 | < 11$ 书写为分段式。

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解题步骤 3.3.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$2 x + 5 \geq 0$

解题步骤 3.3.2

求解不等式。

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解题步骤 3.3.2.1

从不等式两边同时减去 $5$ 。

$2 x \geq - 5$

解题步骤 3.3.2.2

将 $2 x \geq - 5$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将 $2 x \geq - 5$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 5}{2}$

解题步骤 3.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 5}{2}$

解题步骤 3.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{- 5}{2}$

解题步骤 3.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x \geq - \frac{5}{2}$

解题步骤 3.3.3

在 $2 x + 5$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$2 x + 5 < 11$

解题步骤 3.3.4

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$2 x + 5 < 0$

解题步骤 3.3.5

求解不等式。

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解题步骤 3.3.5.1

从不等式两边同时减去 $5$ 。

$2 x < - 5$

解题步骤 3.3.5.2

将 $2 x < - 5$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.5.2.1

将 $2 x < - 5$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} < \frac{- 5}{2}$

解题步骤 3.3.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} < \frac{- 5}{2}$

解题步骤 3.3.5.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x < \frac{- 5}{2}$

解题步骤 3.3.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.5.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x < - \frac{5}{2}$

解题步骤 3.3.6

在 $2 x + 5$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- (2 x + 5) < 11$

解题步骤 3.3.7

书写为分段式。

${\begin{cases} 2 x + 5 < 11 & x \geq - \frac{5}{2} \\ - (2 x + 5) < 11 & x < - \frac{5}{2} \end{cases}$

解题步骤 3.3.8

化简 $- (2 x + 5) < 11$ 。

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解题步骤 3.3.8.1

运用分配律。

${\begin{cases} 2 x + 5 < 11 & x \geq - \frac{5}{2} \\ - (2 x) - 1 \cdot 5 < 11 & x < - \frac{5}{2} \end{cases}$

解题步骤 3.3.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

${\begin{cases} 2 x + 5 < 11 & x \geq - \frac{5}{2} \\ - 2 x - 1 \cdot 5 < 11 & x < - \frac{5}{2} \end{cases}$

解题步骤 3.3.8.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

${\begin{cases} 2 x + 5 < 11 & x \geq - \frac{5}{2} \\ - 2 x - 5 < 11 & x < - \frac{5}{2} \end{cases}$

解题步骤 3.4

当 $x \geq - \frac{5}{2}$ 时求解 $2 x + 5 < 11$ 。

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解题步骤 3.4.1

求解 $x$ 的 $2 x + 5 < 11$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

将所有不包含 $x$ 的项移到不等式右边。

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解题步骤 3.4.1.1.1

从不等式两边同时减去 $5$ 。

$2 x < 11 - 5$

解题步骤 3.4.1.1.2

从 $11$ 中减去 $5$ 。

$2 x < 6$

解题步骤 3.4.1.2

将 $2 x < 6$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.4.1.2.1

将 $2 x < 6$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} < \frac{6}{2}$

解题步骤 3.4.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.1.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} < \frac{6}{2}$

解题步骤 3.4.1.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x < \frac{6}{2}$

解题步骤 3.4.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.1.2.3.1

用 $6$ 除以 $2$ 。

$x < 3$

解题步骤 3.4.2

求 $x < 3$ 和 $x \geq - \frac{5}{2}$ 的交点。

$- \frac{5}{2} \leq x < 3$

解题步骤 3.5

当 $x < - \frac{5}{2}$ 时求解 $- 2 x - 5 < 11$ 。

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解题步骤 3.5.1

求解 $x$ 的 $- 2 x - 5 < 11$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

将所有不包含 $x$ 的项移到不等式右边。

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解题步骤 3.5.1.1.1

在不等式两边同时加上 $5$ 。

$- 2 x < 11 + 5$

解题步骤 3.5.1.1.2

将 $11$ 和 $5$ 相加。

$- 2 x < 16$

解题步骤 3.5.1.2

将 $- 2 x < 16$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 3.5.1.2.1

将 $- 2 x < 16$ 中的每一项除以 $- 2$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{16}{- 2}$

解题步骤 3.5.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.1.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{16}{- 2}$

解题步骤 3.5.1.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x > \frac{16}{- 2}$

解题步骤 3.5.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.1.2.3.1

用 $16$ 除以 $- 2$ 。

$x > - 8$

解题步骤 3.5.2

求 $x > - 8$ 和 $x < - \frac{5}{2}$ 的交点。

$- 8 < x < - \frac{5}{2}$

解题步骤 3.6

求解的并集。

$- 8 < x < 3$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

不等式形式：

$- 8 < x < 3$

区间计数法：

$(- 8, 3)$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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