初级微积分示例

$\cos (\frac{π}{3} + x) + \cos (\frac{π}{3} - x) = \cos (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\cos (\frac{π}{3} + x) + \cos (\frac{π}{3} - x)$

解题步骤 2

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$\cos (\frac{π}{3}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (x) + \cos (\frac{π}{3} - x)$

解题步骤 3

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$\cos (\frac{π}{3}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (x) + \cos (\frac{π}{3}) \cos (- x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cos (x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (x) + \cos (\frac{π}{3}) \cos (- x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

解题步骤 4.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{2} - \sin (\frac{π}{3}) \sin (x) + \cos (\frac{π}{3}) \cos (- x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

解题步骤 4.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (x) + \cos (\frac{π}{3}) \cos (- x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

解题步骤 4.1.4

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3}) \cos (- x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

解题步骤 4.1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cos (- x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

解题步骤 4.1.6

因为 $\cos (- x)$ 是一个偶函数，所以将 $\cos (- x)$ 重写成 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cos (x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

解题步骤 4.1.7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

解题步骤 4.1.8

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (- x)$

解题步骤 4.1.9

因为 $\sin (- x)$ 是一个奇函数，所以将 $\sin (- x)$ 重写成 $- \sin (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} (- \sin (x))$

解题步骤 4.1.10

乘以 $- \frac{\sqrt{3}}{2} (- \sin (x))$ 。

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解题步骤 4.1.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (x)$

解题步骤 4.1.10.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (x)$

解题步骤 4.1.10.3

组合 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

解题步骤 4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos (x) - \sin (x) \sqrt{3} + \cos (x) + \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

解题步骤 4.3

合并 $\cos (x) - \sin (x) \sqrt{3} + \cos (x) + \sqrt{3} \sin (x)$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.1

按照 $- \sin (x) \sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3} \sin (x)$ 重新排列因数。

$\frac{\cos (x) - \sqrt{3} \sin (x) + \cos (x) + \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

解题步骤 4.3.2

将 $- \sqrt{3} \sin (x)$ 和 $\sqrt{3} \sin (x)$ 相加。

$\frac{\cos (x) + 0 + \cos (x)}{2}$

解题步骤 4.3.3

将 $\cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\cos (x) + \cos (x)}{2}$

解题步骤 4.4

将 $\cos (x)$ 和 $\cos (x)$ 相加。

$\frac{2 \cos (x)}{2}$

解题步骤 4.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2}$

解题步骤 4.5.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 5

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\cos (\frac{π}{3} + x) + \cos (\frac{π}{3} - x) = \cos (x)$ 是一个恒等式

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