初级微积分示例

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

解题步骤 1

从右边开始。

${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

解题步骤 2

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 2.1

对 $\sec (x)$ 使用倒数恒等式。

${(\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x))}^{2}$

解题步骤 2.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

${(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

将 ${(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ 重写为 $(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ 。

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 2.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

运用分配律。

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 2.3.2.2

运用分配律。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 2.3.2.3

运用分配律。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.3.1.1

乘以 $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.1.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.2

乘以 $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.2.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.2.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.3

乘以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.3.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.3.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.3.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.4

乘以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.4.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.4.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.4.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.4.6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.4.7

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}$

解题步骤 2.3.3.1.4.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.3.3.1.4.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) + \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5

将 $\sin (x)$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.6

使用完全平方法则进行因式分解。

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

将 ${(1 + \sin (x))}^{2}$ 重写为 $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ 。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 2.4.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

运用分配律。

$\frac{1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 2.4.2.2

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 2.4.2.3

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 2.4.3

化简并合并同类项。

$\frac{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1^{2} + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 \sin (x) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (x)$

解题步骤 3.3

重写多项式。

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4

将勾股恒等式反过来使用。

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分母。

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解题步骤 5.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

解题步骤 5.2

约去 ${(1 + \sin (x))}^{2}$ 和 $1 + \sin (x)$ 的公因数。

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

解题步骤 6

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ 是一个恒等式

初级微积分 示例

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