初级微积分示例

$\frac{\cos (a + b)}{\cos (a) \sin (b)} = \cot (b) - \tan (a)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\cos (a + b)}{\cos (a) \sin (b)}$

解题步骤 2

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$\frac{\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

从 $- \sin (a) \sin (b)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) + \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

解题步骤 3.2

从 $\cos (a) \cos (b)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

解题步骤 3.3

从 $- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

解题步骤 3.4

将 $- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ 重写为 $- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ 。

$\frac{- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

解题步骤 3.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

解题步骤 4

现在，考虑等式的右边。

$\cot (b) - \tan (a)$

解题步骤 5

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 5.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (b)$ 。

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \tan (a)$

解题步骤 5.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (a)$ 。

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

解题步骤 6

减分数。

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解题步骤 6.1

要将 $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (a)}{\cos (a)}$ 。

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

解题步骤 6.2

要将 $- \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ 。

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)}$

解题步骤 6.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\sin (b) \cos (a)$ 的形式。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ 乘以 $\frac{\cos (a)}{\cos (a)}$ 。

$\frac{\cos (b) \cos (a)}{\sin (b) \cos (a)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)}$

解题步骤 6.3.2

将 $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ 乘以 $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ 。

$\frac{\cos (b) \cos (a)}{\sin (b) \cos (a)} - \frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

解题步骤 6.3.3

重新排序 $\sin (b) \cos (a)$ 的因式。

$\frac{\cos (b) \cos (a)}{\cos (a) \sin (b)} - \frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

解题步骤 6.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos (b) \cos (a) - \sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

从 $- \sin (a) \sin (b)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) + \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

解题步骤 7.2

从 $\cos (a) \cos (b)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

解题步骤 7.3

从 $- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

解题步骤 7.4

将 $- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ 重写为 $- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ 。

$\frac{- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

解题步骤 7.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

解题步骤 8

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\cos (a + b)}{\cos (a) \sin (b)} = \cot (b) - \tan (a)$ 是一个恒等式

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