初级微积分示例

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}{x^{6} - 1}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

解题步骤 1.2

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

解题步骤 1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

解题步骤 2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

解题步骤 3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{x^{6} - 1}$

解题步骤 3.1.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{x^{6} - 1}$

解题步骤 3.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.1

将 $x^{6}$ 重写为 ${(x^{2})}^{3}$ 。

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1}$

解题步骤 3.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1^{3}}$

解题步骤 3.2.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{0}{(x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

解题步骤 3.2.4

化简。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{0}{(x^{2} - 1^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

解题步骤 3.2.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

解题步骤 3.2.4.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})}$

解题步骤 3.2.5

化简每一项。

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解题步骤 3.2.5.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} + 1^{2})}$

解题步骤 3.2.5.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1^{2})}$

解题步骤 3.2.5.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)}$

解题步骤 3.3

用 $0$ 除以 $(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$ 。

$0$

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