初级微积分示例

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} + x - 30}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

解题步骤 1.1.2.1.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

解题步骤 1.1.2.1.3

计算 $25$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $5$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{25 - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $25$ 中减去 $25$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{2} + lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 30}$

解题步骤 1.1.3.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 30}$

解题步骤 1.1.3.3

计算 $30$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $5$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 30}$

解题步骤 1.1.3.4

将 $5$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.4.1

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{5^{2} + lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 30}$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{5^{2} + 5 - 1 \cdot 30}$

解题步骤 1.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.5.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{25 + 5 - 1 \cdot 30}$

解题步骤 1.1.3.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $30$ 。

$\frac{0}{25 + 5 - 30}$

解题步骤 1.1.3.5.2

将 $25$ 和 $5$ 相加。

$\frac{0}{30 - 30}$

解题步骤 1.1.3.5.3

从 $30$ 中减去 $30$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.5.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} + x - 30} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} - 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

解题步骤 1.3.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $x^{2} + x - 30$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 30]$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 30]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 30]}$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 30]}$

解题步骤 1.3.9

因为 $- 30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 30$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x + 1 + 0}$

解题步骤 1.3.10

将 $2 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x + 1}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 5} \frac{x}{2 x + 1}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{lim_{x \to 5} 2 x + 1}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{lim_{x \to 5} 2 x + lim_{x \to 5} 1}$

解题步骤 2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{2 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 1}$

解题步骤 2.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $5$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{2 lim_{x \to 5} x + 1}$

解题步骤 3

将 $5$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{5}{2 lim_{x \to 5} x + 1}$

解题步骤 3.2

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{5}{2 \cdot 5 + 1}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$2 \frac{5}{10 + 1}$

解题步骤 4.1.2

将 $10$ 和 $1$ 相加。

$2 (\frac{5}{11})$

解题步骤 4.2

乘以 $2 (\frac{5}{11})$ 。

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解题步骤 4.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{5}{11}$ 。

$\frac{2 \cdot 5}{11}$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{10}{11}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{10}{11}$

小数形式：

$0.\overline{90}$

初级微积分 示例

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