初级微积分示例

$lim_{a \to 25} \frac{\sqrt{a} - 5}{a - 25}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{a \to 25} \sqrt{a} - 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $a$ 趋于 $25$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{a \to 25} \sqrt{a} - lim_{a \to 25} 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

解题步骤 1.1.2.1.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{a \to 25} a} - lim_{a \to 25} 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

解题步骤 1.1.2.1.3

计算 $5$ 的极限值，当 $a$ 趋近于 $25$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{lim_{a \to 25} a} - 1 \cdot 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $25$ 代入 $a$ 来计算 $a$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{5 - 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{0}{lim_{a \to 25} a - 25}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $a$ 趋于 $25$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{a \to 25} a - lim_{a \to 25} 25}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $25$ 的极限值，当 $a$ 趋近于 $25$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{a \to 25} a - 1 \cdot 25}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $25$ 代入 $a$ 来计算 $a$ 的极限值。

$\frac{0}{25 - 1 \cdot 25}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$\frac{0}{25 - 25}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $25$ 中减去 $25$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{a \to 25} \frac{\sqrt{a} - 5}{a - 25} = lim_{a \to 25} \frac{\frac{d}{d a} [\sqrt{a} - 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{d}{d a} [\sqrt{a} - 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\sqrt{a} - 5$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [\sqrt{a}] + \frac{d}{d a} [- 5]$ 。

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{d}{d a} [\sqrt{a}] + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d a} [\sqrt{a}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{a}$ 重写成 $a^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{d}{d a} [a^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

解题步骤 1.3.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

解题步骤 1.3.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

解题步骤 1.3.3.5

在公分母上合并分子。

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

解题步骤 1.3.3.6

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

解题步骤 1.3.3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

解题步骤 1.3.3.7

将负号移到分数的前面。

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 5$ 对于 $a$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

解题步骤 1.3.5

化简。

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解题步骤 1.3.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

解题步骤 1.3.5.2

合并项。

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解题步骤 1.3.5.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

解题步骤 1.3.5.2.2

将 $\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $a - 25$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 25]$ 。

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 25]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d a} [- 25]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 25$ 对于 $a$ 是常数，所以 $- 25$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

解题步骤 1.3.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{a \to 25} \frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $a^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{a}$ 。

$lim_{a \to 25} \frac{1}{2 \sqrt{a}} \cdot 1$

解题步骤 1.6

将 $\frac{1}{2 \sqrt{a}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{a \to 25} \frac{1}{2 \sqrt{a}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $a$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{a \to 25} \frac{1}{\sqrt{a}}$

解题步骤 2.2

当 $a$ 趋于 $25$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{a \to 25} 1}{lim_{a \to 25} \sqrt{a}}$

解题步骤 2.3

计算 $1$ 的极限值，当 $a$ 趋近于 $25$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{a \to 25} \sqrt{a}}$

解题步骤 2.4

将极限移入根号内。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{a \to 25} a}}$

解题步骤 3

将 $25$ 代入 $a$ 来计算 $a$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{25}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

解题步骤 4.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 4.2

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 5}$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{10}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{10}$

小数形式：

$0.1$

初级微积分 示例

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