初级微积分示例

$\sum_{n = 11}^{30} n$

解题步骤 1

分解总和使 $n$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{n = 11}^{30} n = \sum_{n = 1}^{30} n - \sum_{n = 1}^{10} n$

解题步骤 2

计算 $\sum_{n = 1}^{30} n$ 。

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解题步骤 2.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 2.2

将值代入公式中。

$\frac{30 (30 + 1)}{2}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

约去 $30$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1

从 $30 (30 + 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (15 (30 + 1))}{2}$

解题步骤 2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (15 (30 + 1))}{2 (1)}$

解题步骤 2.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (15 (30 + 1))}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{15 (30 + 1)}{1}$

解题步骤 2.3.1.2.4

用 $15 (30 + 1)$ 除以 $1$ 。

$15 (30 + 1)$

$15 (30 + 1)$

$15 (30 + 1)$

解题步骤 2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $30$ 和 $1$ 相加。

$15 \cdot 31$

解题步骤 2.3.2.2

将 $15$ 乘以 $31$ 。

$465$

$465$

$465$

$465$

解题步骤 3

计算 $\sum_{n = 1}^{10} n$ 。

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解题步骤 3.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 3.2

将值代入公式中。

$\frac{10 (10 + 1)}{2}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $10 (10 + 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2}$

解题步骤 3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 (1)}$

解题步骤 3.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{5 (10 + 1)}{1}$

解题步骤 3.3.1.2.4

用 $5 (10 + 1)$ 除以 $1$ 。

$5 (10 + 1)$

$5 (10 + 1)$

$5 (10 + 1)$

解题步骤 3.3.2

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $10$ 和 $1$ 相加。

$5 \cdot 11$

解题步骤 3.3.2.2

将 $5$ 乘以 $11$ 。

$55$

$55$

$55$

$55$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$465 - 55$

解题步骤 5

从 $465$ 中减去 $55$ 。

$410$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$