初级微积分示例

$\sum_{i = 6}^{12} - 5 i + 17$

解题步骤 1

分解总和使 $i$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{k = 6}^{12} - 5 i + 17 = \sum_{k = 1}^{12} - 5 i + 17 - \sum_{k = 1}^{5} - 5 i + 17$

解题步骤 2

计算 $\sum_{k = 1}^{12} - 5 i + 17$ 。

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解题步骤 2.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{12} - 5 i + 17 = - 5 \sum_{k = 1}^{12} i + \sum_{k = 1}^{12} 17$

解题步骤 2.2

计算 $5 \sum_{k = 1}^{12} i$ 。

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解题步骤 2.2.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 2.2.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- 5) (\frac{12 (12 + 1)}{2})$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $12$ 和 $1$ 相加。

$- 5 \frac{12 \cdot 13}{2}$

解题步骤 2.2.3.2

将 $12$ 乘以 $13$ 。

$- 5 (\frac{156}{2})$

解题步骤 2.2.3.3

用 $156$ 除以 $2$ 。

$- 5 \cdot 78$

解题步骤 2.2.3.4

将 $- 5$ 乘以 $78$ 。

$- 390$

解题步骤 2.3

计算 $\sum_{k = 1}^{12} 17$ 。

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解题步骤 2.3.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 2.3.2

将值代入公式中。

$(17) (12)$

解题步骤 2.3.3

将 $17$ 乘以 $12$ 。

$204$

解题步骤 2.4

将求和的总和相加。

$- 390 + 204$

解题步骤 2.5

将 $- 390$ 和 $204$ 相加。

$- 186$

解题步骤 3

计算 $\sum_{k = 1}^{5} - 5 i + 17$ 。

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解题步骤 3.1

展开 $i$ 每个取值的序列。

$- 5 \cdot 1 + 17 - 5 \cdot 2 + 17 - 5 \cdot 3 + 17 + \dots - 5 \cdot 5 + 17$

解题步骤 3.2

化简展开式。

$10$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$- 186 - 10$

解题步骤 5

从 $- 186$ 中减去 $10$ 。

$- 196$

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