初级微积分示例

$5 x^{2} + 8 y^{2} = 40$

解题步骤 1

求椭圆的标准形式。

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解题步骤 1.1

将每一项除以 $40$ 以使方程右边等于一。

$\frac{5 x^{2}}{40} + \frac{8 y^{2}}{40} = \frac{40}{40}$

解题步骤 1.2

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = 2 \sqrt{2}$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

解题步骤 4

椭圆的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1.1

对 $2 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.5

计算指数。

$\sqrt{4 \cdot 2 - {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{8 - {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.4

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{8 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.3.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{8 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{8 - 5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.4.1

约去公因数。

$\sqrt{8 - 5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.4.4.2

重写表达式。

$\sqrt{8 - 5^{1}}$

解题步骤 5.3.4.5

计算指数。

$\sqrt{8 - 1 \cdot 5}$

解题步骤 5.3.5

化简表达式。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{8 - 5}$

解题步骤 5.3.5.2

从 $8$ 中减去 $5$ 。

$\sqrt{3}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过 $h$ 加上 $a$ 求得。

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 + 2 \sqrt{2}, 0)$

解题步骤 6.3

化简。

$(2 \sqrt{2}, 0)$

解题步骤 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

解题步骤 6.5

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 - (2 \sqrt{2}), 0)$

解题步骤 6.6

化简。

$(- 2 \sqrt{2}, 0)$

解题步骤 6.7

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 + \sqrt{3}, 0)$

解题步骤 7.3

化简。

$(\sqrt{3}, 0)$

解题步骤 7.4

椭圆的第二个焦点可通过从 $h$ 中减去 $c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 7.5

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 - (\sqrt{3}), 0)$

解题步骤 7.6

化简。

$(- \sqrt{3}, 0)$

解题步骤 7.7

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 0)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

化简分子。

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解题步骤 8.3.1.1

对 $2 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{5}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{5}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 8.3.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{5}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{5}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{5}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.3.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{5}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.1.3.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {\sqrt{5}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.1.3.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 - {\sqrt{5}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.1.4

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{8 - {\sqrt{5}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.1.5

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 8.3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{8 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{8 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{8 - 5^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{8 - 5^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{8 - 5^{1}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.1.5.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 5}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\sqrt{8 - 5}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.1.7

从 $8$ 中减去 $5$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 8.3.3.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.3.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 8.3.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

解题步骤 8.3.3.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

解题步骤 8.3.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.3.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 8.3.3.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 8.3.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.3.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.3.3.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.3.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.7.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.3.7.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

解题步骤 8.3.3.7.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.3.4

化简分子。

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解题步骤 8.3.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.3.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.3.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{4}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 0)$

离心率： $\frac{\sqrt{6}}{4}$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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