初级微积分示例

$y^{2} - 4 y + 6 x - 8 = 0$

解题步骤 1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1

将 $x$ 单独提取至等式的左边。

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解题步骤 1.1.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1.1.1

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$- 4 y + 6 x - 8 = - y^{2}$

解题步骤 1.1.1.2

在等式两边都加上 $4 y$ 。

$6 x - 8 = - y^{2} + 4 y$

解题步骤 1.1.1.3

在等式两边都加上 $8$ 。

$6 x = - y^{2} + 4 y + 8$

解题步骤 1.1.2

将 $6 x = - y^{2} + 4 y + 8$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $6 x = - y^{2} + 4 y + 8$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- y^{2}}{6} + \frac{4 y}{6} + \frac{8}{6}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- y^{2}}{6} + \frac{4 y}{6} + \frac{8}{6}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- y^{2}}{6} + \frac{4 y}{6} + \frac{8}{6}$

解题步骤 1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{4 y}{6} + \frac{8}{6}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

约去 $4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.2.1

从 $4 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 (2 y)}{6} + \frac{8}{6}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 (2 y)}{2 (3)} + \frac{8}{6}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2.2.2

约去公因数。

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 3} + \frac{8}{6}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2.2.3

重写表达式。

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{8}{6}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

约去 $8$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{2 (4)}{6}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3.2.2

约去公因数。

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3.2.3

重写表达式。

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3}$

解题步骤 1.2

对 $- \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3}$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - \frac{1}{6}$

$b = \frac{2}{3}$

$c = \frac{4}{3}$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{\frac{2}{3}}{2 (- \frac{1}{6})}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{6})}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

约去公因数。

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{6})}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

重写表达式。

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{6}}$

解题步骤 1.2.3.2.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{- \frac{1}{6}}$ 。

$d = \frac{1}{3 (- \frac{1}{6})}$

解题步骤 1.2.3.2.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$d = \frac{1}{- 3 (\frac{1}{6})}$

解题步骤 1.2.3.2.5

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$d = \frac{1}{\frac{- 3}{6}}$

解题步骤 1.2.3.2.6

约去 $- 3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.6.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$d = \frac{1}{\frac{3 (- 1)}{6}}$

解题步骤 1.2.3.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.3.2.6.2.2

约去公因数。

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.3.2.6.2.3

重写表达式。

$d = \frac{1}{\frac{- 1}{2}}$

解题步骤 1.2.3.2.7

将分子乘以分母的倒数。

$d = 1 (\frac{2}{- 1})$

解题步骤 1.2.3.2.8

将 $\frac{2}{- 1}$ 乘以 $1$ 。

$d = \frac{2}{- 1}$

解题步骤 1.2.3.2.9

用 $2$ 除以 $- 1$ 。

$d = - 2$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = \frac{4}{3} - \frac{{(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1.1

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

解题步骤 1.2.4.2.1.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

解题步骤 1.2.4.2.1.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{4 (- \frac{1}{6})}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- 4 (\frac{1}{6})}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 4}{6}}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 1.2.4.2.1.3.1

约去 $- 4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.3.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 (- 2)}{6}}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.3.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3.1.2.2

约去公因数。

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3.1.2.3

重写表达式。

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 2}{3}}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3.2

将负号移到分数的前面。

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- \frac{2}{3}}$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$e = \frac{4}{3} - (\frac{4}{9} (- \frac{3}{2}))$

解题步骤 1.2.4.2.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.5.1

将 $- \frac{3}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$e = \frac{4}{3} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

解题步骤 1.2.4.2.1.5.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2 (2)}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

解题步骤 1.2.4.2.1.5.3

约去公因数。

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

解题步骤 1.2.4.2.1.5.4

重写表达式。

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{9} \cdot - 3)$

解题步骤 1.2.4.2.1.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.6.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{3 (3)} \cdot - 3)$

解题步骤 1.2.4.2.1.6.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

解题步骤 1.2.4.2.1.6.3

约去公因数。

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

解题步骤 1.2.4.2.1.6.4

重写表达式。

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{3} \cdot - 1)$

解题步骤 1.2.4.2.1.7

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 1$ 。

$e = \frac{4}{3} - \frac{2 \cdot - 1}{3}$

解题步骤 1.2.4.2.1.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e = \frac{4}{3} - \frac{- 2}{3}$

解题步骤 1.2.4.2.1.9

将负号移到分数的前面。

$e = \frac{4}{3} - - \frac{2}{3}$

解题步骤 1.2.4.2.1.10

乘以 $- - \frac{2}{3}$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e = \frac{4}{3} + 1 (\frac{2}{3})$

解题步骤 1.2.4.2.1.10.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$e = \frac{4}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 1.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$e = \frac{4 + 2}{3}$

解题步骤 1.2.4.2.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$e = \frac{6}{3}$

解题步骤 1.2.4.2.4

用 $6$ 除以 $3$ 。

$e = 2$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- \frac{1}{6} {(y - 2)}^{2} + 2$ 。

$- \frac{1}{6} {(y - 2)}^{2} + 2$

解题步骤 1.3

将 $x$ 设为等于右边新的值。

$x = - \frac{1}{6} \cdot {(y - 2)}^{2} + 2$

解题步骤 2

使用顶点式 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - \frac{1}{6}$

$h = 2$

$k = 2$

解题步骤 3

因为 $a$ 的值是负数，所以抛物线开口向左。

开口向左

解题步骤 4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(2, 2)$

解题步骤 5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

解题步骤 5.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{6})}$

解题步骤 5.3.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$- \frac{1}{\frac{4}{6}}$

解题步骤 5.3.3

约去 $4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{\frac{2 (2)}{6}}$

解题步骤 5.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

解题步骤 5.3.3.2.2

约去公因数。

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

解题步骤 5.3.3.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.3.4

将分子乘以分母的倒数。

$- (1 (\frac{3}{2}))$

解题步骤 5.3.5

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3}{2}$

解题步骤 6

求焦点。

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解题步骤 6.1

如果抛物线开口向左或向右，则可通过让 $p$ 加上 X 轴坐标 $h$ 求得抛物线的焦点。

$(h + p, k)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\frac{1}{2}, 2)$

解题步骤 7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$y = 2$

解题步骤 8

求准线。

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解题步骤 8.1

如果抛物线开口向左或向右，那么抛物线的准线为通过从顶点的 x 坐标 $h$ 减去 $p$ 求得的正垂线。

$x = h - p$

解题步骤 8.2

将 $p$ 和 $h$ 的已知值代入公式并化简。

$x = \frac{7}{2}$

解题步骤 9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向左

顶点： $(2, 2)$

焦点： $(\frac{1}{2}, 2)$

对称轴： $y = 2$

准线： $x = \frac{7}{2}$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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