初级微积分示例

$9 x^{2} - 16 y^{2} = 144$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

将每一项除以 $144$ 以使方程右边等于一。

$\frac{9 x^{2}}{144} - \frac{16 y^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

解题步骤 1.2

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 4$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

解题步骤 4

双曲线的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + {(3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + 9}$

解题步骤 5.3.3

将 $16$ 和 $9$ 相加。

$\sqrt{25}$

解题步骤 5.3.4

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\sqrt{5^{2}}$

解题步骤 5.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$5$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

双曲线的第一个顶点可通过 $h$ 加上 $a$ 求得。

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(4, 0)$

解题步骤 6.3

双曲线的第二个顶点可通过从 $h$ 中减去 $a$ 求得。

$(h - a, k)$

解题步骤 6.4

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 4, 0)$

解题步骤 6.5

双曲线的顶点符合 $(h \pm a, k)$ 的形式。双曲线有两个顶点。

$(4, 0), (- 4, 0)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(5, 0)$

解题步骤 7.3

双曲线的第二个焦点可通过从 $h$ 中减去 $c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 5, 0)$

解题步骤 7.5

双曲线的焦点遵循 $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(5, 0), (- 5, 0)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}}{4}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{16 + 3^{2}}}{4}$

解题步骤 8.3.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

解题步骤 8.3.3

将 $16$ 和 $9$ 相加。

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

解题步骤 8.3.4

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

解题步骤 8.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{5}{4}$

解题步骤 9

求焦点参数。

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解题步骤 9.1

通过使用下面的公式求双曲线焦点参数的值。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

解题步骤 9.2

将 $b$ 和 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的值代入公式。

$\frac{3^{2}}{5}$

解题步骤 9.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{9}{5}$

解题步骤 10

因为双曲线开口向左和向右，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 的形式。

$y = \pm \frac{3}{4} x + 0$

解题步骤 11

化简 $\frac{3}{4} x + 0$ 。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{3}{4} x$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{3}{4} x$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{3 x}{4}$

解题步骤 12

化简 $- \frac{3}{4} x + 0$ 。

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解题步骤 12.1

将 $- \frac{3}{4} x$ 和 $0$ 相加。

$y = - \frac{3}{4} x$

解题步骤 12.2

组合 $x$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 3}{4}$

解题步骤 12.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{3 x}{4}$

解题步骤 13

该双曲线有两条渐近线。

$y = \frac{3 x}{4}, y = - \frac{3 x}{4}$

解题步骤 14

这些值代表的是绘制和分析双曲线时的重要数值。

中心点： $(0, 0)$

顶点： $(4, 0), (- 4, 0)$

焦点： $(5, 0), (- 5, 0)$

离心率： $\frac{5}{4}$

焦点参数： $\frac{9}{5}$

渐近线： $y = \frac{3 x}{4}$ ， $y = - \frac{3 x}{4}$

解题步骤 15

初级微积分 示例

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