初级微积分示例

$4 x^{2} + 4 y^{2} + 4 x + 4 y - 2 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $2$ 。

$4 x^{2} + 4 y^{2} + 4 x + 4 y = 2$

解题步骤 2

等式两边同时除以 $4$ 。

$x^{2} + y^{2} + x + y = \frac{1}{2}$

解题步骤 3

对 $x^{2} + x$ 进行配方。

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解题步骤 3.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

解题步骤 3.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 3.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

约去公因数。

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.2.2

重写表达式。

$d = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 3.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{1}{4}$

解题步骤 3.4.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{4}$ 。

$e = - \frac{1}{4}$

解题步骤 3.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ 。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

解题步骤 4

在方程 $x^{2} + y^{2} + x + y = \frac{1}{2}$ 中，用 ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ 代替 $x^{2} + x$ 。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} + y = \frac{1}{2}$

解题步骤 5

通过在等式两边同时加上 $\frac{1}{4}$ 的方法来将 $- \frac{1}{4}$ 移到等式右边。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} + y = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

解题步骤 6

对 $y^{2} + y$ 进行配方。

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解题步骤 6.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

解题步骤 6.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 6.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 6.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.3.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

约去公因数。

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.3.2.2

重写表达式。

$d = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 6.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.2

化简右边。

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解题步骤 6.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{1}{4}$

解题步骤 6.4.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{4}$ 。

$e = - \frac{1}{4}$

解题步骤 6.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ 。

${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

解题步骤 7

在方程 $x^{2} + y^{2} + x + y = \frac{1}{2}$ 中，用 ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ 代替 $y^{2} + y$ 。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

解题步骤 8

通过在等式两边同时加上 $\frac{1}{4}$ 的方法来将 $- \frac{1}{4}$ 移到等式右边。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

解题步骤 9

化简 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 9.1

在公分母上合并分子。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{1 + 1}{4}$

解题步骤 9.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2}{4}$

解题步骤 9.3

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 (1)}{4}$

解题步骤 9.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.3.2.2

约去公因数。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.3.2.3

重写表达式。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 9.4

在公分母上合并分子。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1 + 1}{2}$

解题步骤 9.5

化简表达式。

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解题步骤 9.5.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2}{2}$

解题步骤 9.5.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 1$

解题步骤 10

这是圆的形式。使用此形式可确定圆心和圆半径。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

解题步骤 11

将该圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $r$ 表示圆的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$r = 1$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = - \frac{1}{2}$

解题步骤 12

该圆的圆心求得为 $(h, k)$ 。

中心点： $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

解题步骤 13

这些值代表的是绘制和分析圆时的重要数值。

中心点： $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

半径： $1$

解题步骤 14

初级微积分 示例

初级微积分示例