初级微积分示例

${(x + 2)}^{3} - 8$

解题步骤 1

交换变量。

$x = {(y + 2)}^{3} - 8$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 ${(y + 2)}^{3} - 8 = x$ 。

${(y + 2)}^{3} - 8 = x$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $8$ 。

${(y + 2)}^{3} = x + 8$

解题步骤 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + 2 = \sqrt[3]{x + 8}$

解题步骤 2.4

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y = \sqrt[3]{x + 8} - 2$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8} - 2$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8} - 2$ 是否为 $f (x) = {(x + 2)}^{3} - 8$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} ({(x + 2)}^{3} - 8)$ 。

$f^{- 1} ({(x + 2)}^{3} - 8) = \sqrt[3]{({(x + 2)}^{3} - 8) + 8} - 2$

解题步骤 4.2.3

合并 $\sqrt[3]{({(x + 2)}^{3} - 8) + 8} - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $- 8$ 和 $8$ 相加。

$f^{- 1} ({(x + 2)}^{3} - 8) = \sqrt[3]{{(x + 2)}^{3} + 0} - 2$

解题步骤 4.2.3.2

将 ${(x + 2)}^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} ({(x + 2)}^{3} - 8) = \sqrt[3]{{(x + 2)}^{3}} - 2$

解题步骤 4.2.4

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} ({(x + 2)}^{3} - 8) = x + 2 - 2$

解题步骤 4.2.5

合并 $x + 2 - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.5.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f^{- 1} ({(x + 2)}^{3} - 8) = x + 0$

解题步骤 4.2.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} ({(x + 2)}^{3} - 8) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\sqrt[3]{x + 8} - 2)$ 。

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = {((\sqrt[3]{x + 8} - 2) + 2)}^{3} - 8$

解题步骤 4.3.3

合并 ${((\sqrt[3]{x + 8} - 2) + 2)}^{3} - 8$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = {(\sqrt[3]{x + 8} + 0)}^{3} - 8$

解题步骤 4.3.3.2

将 $\sqrt[3]{x + 8}$ 和 $0$ 相加。

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = {\sqrt[3]{x + 8}}^{3} - 8$

解题步骤 4.3.4

将 ${\sqrt[3]{x + 8}}^{3}$ 重写为 $x + 8$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x + 8}$ 重写成 ${(x + 8)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = {({(x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 8$

解题步骤 4.3.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = {(x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 8$

解题步骤 4.3.4.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = {(x + 8)}^{\frac{3}{3}} - 8$

解题步骤 4.3.4.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = {(x + 8)}^{\frac{3}{3}} - 8$

解题步骤 4.3.4.4.2

重写表达式。

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = (x + 8) - 8$

解题步骤 4.3.4.5

化简。

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = x + 8 - 8$

解题步骤 4.3.5

合并 $x + 8 - 8$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.5.1

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = x + 0$

解题步骤 4.3.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8} - 2$ 为 $f (x) = {(x + 2)}^{3} - 8$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8} - 2$

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