初级微积分示例

${(1 + \frac{1}{x})}^{5}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

$\sum_{k = 0}^{5} \frac{5!}{(5 - k)! k!} \cdot {(1)}^{5 - k} \cdot {(\frac{1}{x})}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

$\frac{5!}{(5 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{5 - 0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{0} + \frac{5!}{(5 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{5 - 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + \dots + \frac{5!}{(5 - 5)! 5!} \cdot {(1)}^{5 - 5} \cdot {(\frac{1}{x})}^{5}$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot {(1)}^{5} \cdot {(\frac{1}{x})}^{0} + 5 \cdot {(1)}^{4} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + \dots + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{5}$

解题步骤 4

化简多项式结果。

$1 + \frac{5}{x} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{10}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{1}{x^{5}}$

初级微积分 示例

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