初级微积分示例

$f (x) = 3 x^{2} - 2 x - 5$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 1.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 x^{2} - 2 x - 5$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 3$

$b = - 2$

$c = - 5$

解题步骤 1.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (3)}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{1}{3}$

解题步骤 1.1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = - 5 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = - 5 - \frac{4}{4 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$e = - 5 - \frac{4}{12}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.3

约去 $4$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = - 5 - \frac{4 (1)}{12}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1.3.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = - 5 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.3.2.2

约去公因数。

$e = - 5 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.3.2.3

重写表达式。

$e = - 5 - \frac{1}{3}$

解题步骤 1.1.1.4.2.2

要将 $- 5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$e = - 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 1.1.1.4.2.3

组合 $- 5$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$e = \frac{- 5 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 1.1.1.4.2.4

在公分母上合并分子。

$e = \frac{- 5 \cdot 3 - 1}{3}$

解题步骤 1.1.1.4.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.4.2.5.1

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$e = \frac{- 15 - 1}{3}$

解题步骤 1.1.1.4.2.5.2

从 $- 15$ 中减去 $1$ 。

$e = \frac{- 16}{3}$

解题步骤 1.1.1.4.2.6

将负号移到分数的前面。

$e = - \frac{16}{3}$

解题步骤 1.1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $3 {(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{16}{3}$ 。

$3 {(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{16}{3}$

解题步骤 1.1.2

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = 3 {(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{16}{3}$

解题步骤 1.2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = 3$

$h = \frac{1}{3}$

$k = - \frac{16}{3}$

解题步骤 1.3

因为 $a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 1.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(\frac{1}{3}, - \frac{16}{3})$

解题步骤 1.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 1.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

解题步骤 1.5.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{12}$

解题步骤 1.6

求焦点。

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解题步骤 1.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 1.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\frac{1}{3}, - \frac{21}{4})$

解题步骤 1.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = \frac{1}{3}$

解题步骤 1.8

求准线。

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解题步骤 1.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 1.8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = - \frac{65}{12}$

解题步骤 1.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(\frac{1}{3}, - \frac{16}{3})$

焦点： $(\frac{1}{3}, - \frac{21}{4})$

对称轴： $x = \frac{1}{3}$

准线： $y = - \frac{65}{12}$

方向：开口向上

顶点： $(\frac{1}{3}, - \frac{16}{3})$

焦点： $(\frac{1}{3}, - \frac{21}{4})$

对称轴： $x = \frac{1}{3}$

准线： $y = - \frac{65}{12}$

解题步骤 2

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 - 5$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot - 1 - 5$

解题步骤 2.2.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (- 1) = 3 - 2 \cdot - 1 - 5$

解题步骤 2.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = 3 + 2 - 5$

解题步骤 2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f (- 1) = 5 - 5$

解题步骤 2.2.2.2

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$f (- 1) = 0$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 2.3

$y$ 在 $x = - 1$ 处的值为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 2.4

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 5$

解题步骤 2.5

化简结果。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2) = 3 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 - 5$

解题步骤 2.5.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (- 2) = 12 - 2 \cdot - 2 - 5$

解题步骤 2.5.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2) = 12 + 4 - 5$

解题步骤 2.5.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $12$ 和 $4$ 相加。

$f (- 2) = 16 - 5$

解题步骤 2.5.2.2

从 $16$ 中减去 $5$ 。

$f (- 2) = 11$

解题步骤 2.5.3

最终答案为 $11$ 。

$11$

解题步骤 2.6

$y$ 在 $x = - 2$ 处的值为 $11$ 。

$y = 11$

解题步骤 2.7

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = 3 {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 - 5$

解题步骤 2.8

化简结果。

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解题步骤 2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 5$

解题步骤 2.8.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 3 - 2 \cdot 1 - 5$

解题步骤 2.8.1.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 3 - 2 - 5$

解题步骤 2.8.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 2.8.2.1

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f (1) = 1 - 5$

解题步骤 2.8.2.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$f (1) = - 4$

解题步骤 2.8.3

最终答案为 $- 4$ 。

$- 4$

解题步骤 2.9

$y$ 在 $x = 1$ 处的值为 $- 4$ 。

$y = - 4$

解题步骤 2.10

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = 3 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 5$

解题步骤 2.11

化简结果。

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解题步骤 2.11.1

化简每一项。

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解题步骤 2.11.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 - 5$

解题步骤 2.11.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (2) = 12 - 2 \cdot 2 - 5$

解题步骤 2.11.1.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = 12 - 4 - 5$

解题步骤 2.11.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 2.11.2.1

从 $12$ 中减去 $4$ 。

$f (2) = 8 - 5$

解题步骤 2.11.2.2

从 $8$ 中减去 $5$ 。

$f (2) = 3$

解题步骤 2.11.3

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 2.12

$y$ 在 $x = 2$ 处的值为 $3$ 。

$y = 3$

解题步骤 2.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 11 \\ - 1 & 0 \\ \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 1 & - 4 \\ 2 & 3 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(\frac{1}{3}, - \frac{16}{3})$

焦点： $(\frac{1}{3}, - \frac{21}{4})$

对称轴： $x = \frac{1}{3}$

准线： $y = - \frac{65}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 11 \\ - 1 & 0 \\ \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 1 & - 4 \\ 2 & 3 \end{array}$

解题步骤 4

初级微积分 示例

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