初级微积分示例

$y = 4 \sin (3 x - \frac{1}{3} \cdot π) + 1$

解题步骤 1

使用 $a \sin (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = 4$

$b = 3$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 1$

解题步骤 2

求振幅 $| a |$ 。

振幅： $4$

解题步骤 3

使用公式 $\frac{2 π}{| b |}$ 求周期。

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解题步骤 3.1

求 $4 \sin (3 x - \frac{π}{3})$ 的周期。

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解题步骤 3.1.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.1.2

使用周期公式中的 $3$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 3 |}$

解题步骤 3.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$\frac{2 π}{3}$

解题步骤 3.2

求 $1$ 的周期。

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解题步骤 3.2.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.2

使用周期公式中的 $3$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 3 |}$

解题步骤 3.2.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$\frac{2 π}{3}$

解题步骤 3.3

三角函数加、减后的周期是每一函数周期的最大值。

$\frac{2 π}{3}$

解题步骤 4

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 4.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 4.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{\frac{π}{3}}{3}$

解题步骤 4.3

将分子乘以分母的倒数。

相移： $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 4.4

乘以 $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

相移： $\frac{π}{3 \cdot 3}$

解题步骤 4.4.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

相移： $\frac{π}{9}$

解题步骤 5

列出三角函数的性质。

振幅： $4$

周期： $\frac{2 π}{3}$

相移： $\frac{π}{9}$ （ $\frac{π}{9}$ 向右移）

垂直位移： $1$

解题步骤 6

选择某些点来画图。

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解题步骤 6.1

求在 $x = \frac{π}{9}$ 处的点。

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解题步骤 6.1.1

使用表达式中的 $\frac{π}{9}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.1.2

化简结果。

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解题步骤 6.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.1.1.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.1.2.1.1.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.1.2.1.1.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.1.2.1.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{π - π}{3}) + 1$

解题步骤 6.1.2.1.3

从 $π$ 中减去 $π$ 。

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{0}{3}) + 1$

解题步骤 6.1.2.1.4

用 $0$ 除以 $3$ 。

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

解题步骤 6.1.2.1.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

解题步骤 6.1.2.1.6

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{π}{9}) = 0 + 1$

解题步骤 6.1.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{π}{9}) = 1$

解题步骤 6.1.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 6.2

求在 $x = \frac{5 π}{18}$ 处的点。

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解题步骤 6.2.1

使用表达式中的 $\frac{5 π}{18}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{18}) - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.2.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

从 $18$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{3 (6)}) - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

约去公因数。

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{3 \cdot 6}) - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.2.2.1.1.3

重写表达式。

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.2.2.1.2

要将 $- \frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

解题步骤 6.2.2.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 6.2.2.1.3.1

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 1$

解题步骤 6.2.2.1.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}) + 1$

解题步骤 6.2.2.1.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{6}) + 1$

解题步骤 6.2.2.1.5

化简分子。

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解题步骤 6.2.2.1.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π - 2 π}{6}) + 1$

解题步骤 6.2.2.1.5.2

从 $5 π$ 中减去 $2 π$ 。

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{6}) + 1$

解题步骤 6.2.2.1.6

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.6.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (π)}{6}) + 1$

解题步骤 6.2.2.1.6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 1$

解题步骤 6.2.2.1.6.2.2

约去公因数。

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 1$

解题步骤 6.2.2.1.6.2.3

重写表达式。

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{π}{2}) + 1$

解题步骤 6.2.2.1.7

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \cdot 1 + 1$

解题步骤 6.2.2.1.8

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 + 1$

解题步骤 6.2.2.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{5 π}{18}) = 5$

解题步骤 6.2.2.3

最终答案为 $5$ 。

$5$

解题步骤 6.3

求在 $x = \frac{4 π}{9}$ 处的点。

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解题步骤 6.3.1

使用表达式中的 $\frac{4 π}{9}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.3.2

化简结果。

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解题步骤 6.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.3.2.1.1.2

约去公因数。

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.3.2.1.1.3

重写表达式。

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.3.2.1.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{4 π - π}{3}) + 1$

解题步骤 6.3.2.1.3

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3}) + 1$

解题步骤 6.3.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.4.1

约去公因数。

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3}) + 1$

解题步骤 6.3.2.1.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (π) + 1$

解题步骤 6.3.2.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

解题步骤 6.3.2.1.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

解题步骤 6.3.2.1.7

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{4 π}{9}) = 0 + 1$

解题步骤 6.3.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{4 π}{9}) = 1$

解题步骤 6.3.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 6.4

求在 $x = \frac{11 π}{18}$ 处的点。

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解题步骤 6.4.1

使用表达式中的 $\frac{11 π}{18}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{18}) - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.4.2

化简结果。

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解题步骤 6.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.1.1

从 $18$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{3 (6)}) - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.4.2.1.1.2

约去公因数。

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{3 \cdot 6}) - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.4.2.1.1.3

重写表达式。

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.4.2.1.2

要将 $- \frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

解题步骤 6.4.2.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 6.4.2.1.3.1

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 1$

解题步骤 6.4.2.1.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}) + 1$

解题步骤 6.4.2.1.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π - π \cdot 2}{6}) + 1$

解题步骤 6.4.2.1.5

化简分子。

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解题步骤 6.4.2.1.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π - 2 π}{6}) + 1$

解题步骤 6.4.2.1.5.2

从 $11 π$ 中减去 $2 π$ 。

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{9 π}{6}) + 1$

解题步骤 6.4.2.1.6

约去 $9$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.6.1

从 $9 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{6}) + 1$

解题步骤 6.4.2.1.6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)}) + 1$

解题步骤 6.4.2.1.6.2.2

约去公因数。

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}) + 1$

解题步骤 6.4.2.1.6.2.3

重写表达式。

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 1$

解题步骤 6.4.2.1.7

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 (- \sin (\frac{π}{2})) + 1$

解题步骤 6.4.2.1.8

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 (- 1 \cdot 1) + 1$

解题步骤 6.4.2.1.9

乘以 $4 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 6.4.2.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \cdot - 1 + 1$

解题步骤 6.4.2.1.9.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{11 π}{18}) = - 4 + 1$

解题步骤 6.4.2.2

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{11 π}{18}) = - 3$

解题步骤 6.4.2.3

最终答案为 $- 3$ 。

$- 3$

解题步骤 6.5

求在 $x = \frac{7 π}{9}$ 处的点。

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解题步骤 6.5.1

使用表达式中的 $\frac{7 π}{9}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.5.2

化简结果。

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解题步骤 6.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.5.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.1.1.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.5.2.1.1.2

约去公因数。

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.5.2.1.1.3

重写表达式。

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{7 π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

解题步骤 6.5.2.1.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{7 π - π}{3}) + 1$

解题步骤 6.5.2.1.3

从 $7 π$ 中减去 $π$ 。

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{6 π}{3}) + 1$

解题步骤 6.5.2.1.4

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.1.4.1

从 $6 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3}) + 1$

解题步骤 6.5.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.5.2.1.4.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 (1)}) + 1$

解题步骤 6.5.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}) + 1$

解题步骤 6.5.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{2 π}{1}) + 1$

解题步骤 6.5.2.1.4.2.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (2 π) + 1$

解题步骤 6.5.2.1.5

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

解题步骤 6.5.2.1.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

解题步骤 6.5.2.1.7

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{7 π}{9}) = 0 + 1$

解题步骤 6.5.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{7 π}{9}) = 1$

解题步骤 6.5.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 6.6

列出表中的点。

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{9} & 1 \\ \frac{5 π}{18} & 5 \\ \frac{4 π}{9} & 1 \\ \frac{11 π}{18} & - 3 \\ \frac{7 π}{9} & 1 \end{array}$

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

振幅： $4$

周期： $\frac{2 π}{3}$

相移： $\frac{π}{9}$ （ $\frac{π}{9}$ 向右移）

垂直位移： $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{9} & 1 \\ \frac{5 π}{18} & 5 \\ \frac{4 π}{9} & 1 \\ \frac{11 π}{18} & - 3 \\ \frac{7 π}{9} & 1 \end{array}$

解题步骤 8

初级微积分 示例

初级微积分示例