初级微积分示例

$y = \frac{1}{2} x^{2} - x - 6$

解题步骤 1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{2} - x - 6$

解题步骤 2

确定给定抛物线的性质。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将方程重写为顶点式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

对 $\frac{x^{2}}{2} - x - 6$ 进行配方。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = - 6$

解题步骤 2.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 2.1.1.3.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.1.1.3.2.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

$d = \frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.1.1.3.2.3

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$d = - 1$

解题步骤 2.1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 2.1.1.4.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.4.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.4.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = - 6 - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e = - 6 - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.3

用 $4$ 除以 $2$ 。

$e = - 6 - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.1.1.4.2.2

要将 $- 6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$e = - 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.1.1.4.2.3

组合 $- 6$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$e = \frac{- 6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.1.1.4.2.4

在公分母上合并分子。

$e = \frac{- 6 \cdot 2 - 1}{2}$

解题步骤 2.1.1.4.2.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.4.2.5.1

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$e = \frac{- 12 - 1}{2}$

解题步骤 2.1.1.4.2.5.2

从 $- 12$ 中减去 $1$ 。

$e = \frac{- 13}{2}$

解题步骤 2.1.1.4.2.6

将负号移到分数的前面。

$e = - \frac{13}{2}$

解题步骤 2.1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

解题步骤 2.1.2

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

解题步骤 2.2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - \frac{13}{2}$

解题步骤 2.3

因为 $a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 2.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(1, - \frac{13}{2})$

解题步骤 2.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 2.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.5.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.3.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

解题步骤 2.5.3.2

用 $4$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 2.6

求焦点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 2.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(1, - 6)$

解题步骤 2.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = 1$

解题步骤 2.8

求准线。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 2.8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = - 7$

解题步骤 2.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(1, - \frac{13}{2})$

焦点： $(1, - 6)$

对称轴： $x = 1$

准线： $y = - 7$

方向：开口向上

顶点： $(1, - \frac{13}{2})$

焦点： $(1, - 6)$

对称轴： $x = 1$

准线： $y = - 7$

解题步骤 3

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} - (0) - 6$

解题步骤 3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

求公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

将 $- (0)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} - 6$

解题步骤 3.2.1.2

将 $\frac{- (0)}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

解题步骤 3.2.1.3

将 $\frac{- (0)}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} - 6$

解题步骤 3.2.1.4

将 $- 6$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

解题步骤 3.2.1.5

将 $\frac{- 6}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.2.1.6

将 $\frac{- 6}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2.2

在公分母上合并分子。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2} + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2.3.2

乘以 $- (0) \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2.3.2.2

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$f (0) = \frac{0 + 0 - 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2.3.3

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$f (0) = \frac{0 + 0 - 12}{2}$

解题步骤 3.2.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.4.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = \frac{0 - 12}{2}$

解题步骤 3.2.4.2

从 $0$ 中减去 $12$ 。

$f (0) = \frac{- 12}{2}$

解题步骤 3.2.4.3

用 $- 12$ 除以 $2$ 。

$f (0) = - 6$

解题步骤 3.2.5

最终答案为 $- 6$ 。

$- 6$

解题步骤 3.3

$y$ 在 $x = 0$ 处的值为 $- 6$ 。

$y = - 6$

解题步骤 3.4

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - (- 1) - 6$

解题步骤 3.5

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

求公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1.1

将 $- (- 1)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} - 6$

解题步骤 3.5.1.2

将 $\frac{- (- 1)}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

解题步骤 3.5.1.3

将 $\frac{- (- 1)}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} - 6$

解题步骤 3.5.1.4

将 $- 6$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

解题步骤 3.5.1.5

将 $\frac{- 6}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.5.1.6

将 $\frac{- 6}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.5.2

在公分母上合并分子。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.5.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.3.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.5.3.2

乘以 $- (- 1) \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.5.3.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.5.3.3

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 12}{2}$

解题步骤 3.5.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.4.1

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (- 1) = \frac{3 - 12}{2}$

解题步骤 3.5.4.2

从 $3$ 中减去 $12$ 。

$f (- 1) = \frac{- 9}{2}$

解题步骤 3.5.4.3

将负号移到分数的前面。

$f (- 1) = - \frac{9}{2}$

解题步骤 3.5.5

最终答案为 $- \frac{9}{2}$ 。

$- \frac{9}{2}$

解题步骤 3.6

$y$ 在 $x = - 1$ 处的值为 $- \frac{9}{2}$ 。

$y = - \frac{9}{2}$

解题步骤 3.7

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} - (2) - 6$

解题步骤 3.8

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.8.1

求公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.8.1.1

将 $- (2)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} - 6$

解题步骤 3.8.1.2

将 $\frac{- (2)}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

解题步骤 3.8.1.3

将 $\frac{- (2)}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 6$

解题步骤 3.8.1.4

将 $- 6$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

解题步骤 3.8.1.5

将 $\frac{- 6}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.8.1.6

将 $\frac{- 6}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.8.2

在公分母上合并分子。

$f (2) = \frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.8.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.8.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.8.3.2

乘以 $- (2) \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.8.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.8.3.2.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = \frac{4 - 4 - 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.8.3.3

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = \frac{4 - 4 - 12}{2}$

解题步骤 3.8.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.8.4.1

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$f (2) = \frac{0 - 12}{2}$

解题步骤 3.8.4.2

从 $0$ 中减去 $12$ 。

$f (2) = \frac{- 12}{2}$

解题步骤 3.8.4.3

用 $- 12$ 除以 $2$ 。

$f (2) = - 6$

解题步骤 3.8.5

最终答案为 $- 6$ 。

$- 6$

解题步骤 3.9

$y$ 在 $x = 2$ 处的值为 $- 6$ 。

$y = - 6$

解题步骤 3.10

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - (4) - 6$

解题步骤 3.11

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.11.1

求公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.11.1.1

将 $- (4)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} - 6$

解题步骤 3.11.1.2

将 $\frac{- (4)}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

解题步骤 3.11.1.3

将 $\frac{- (4)}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} - 6$

解题步骤 3.11.1.4

将 $- 6$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

解题步骤 3.11.1.5

将 $\frac{- 6}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.11.1.6

将 $\frac{- 6}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.11.2

在公分母上合并分子。

$f (4) = \frac{{(4)}^{2} - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.11.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.11.3.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.11.3.2

乘以 $- (4) \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.11.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.11.3.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f (4) = \frac{16 - 8 - 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.11.3.3

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$f (4) = \frac{16 - 8 - 12}{2}$

解题步骤 3.11.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.11.4.1

从 $16$ 中减去 $8$ 。

$f (4) = \frac{8 - 12}{2}$

解题步骤 3.11.4.2

从 $8$ 中减去 $12$ 。

$f (4) = \frac{- 4}{2}$

解题步骤 3.11.4.3

用 $- 4$ 除以 $2$ 。

$f (4) = - 2$

解题步骤 3.11.5

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 3.12

$y$ 在 $x = 4$ 处的值为 $- 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 3.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

解题步骤 4

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(1, - \frac{13}{2})$

焦点： $(1, - 6)$

对称轴： $x = 1$

准线： $y = - 7$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

初级微积分示例