初级微积分示例

$f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$

解题步骤 1

使用有理根检验法因式分解 $3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$ 。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 3$

解题步骤 1.3

代入 $0.\overline{3}$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $0.\overline{3}$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.3.1

将 $0.\overline{3}$ 代入多项式。

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

解题步骤 1.3.2

对 $0.\overline{3}$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 \cdot 0.\overline{037} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $0.\overline{037}$ 。

$0.\overline{1} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

解题步骤 1.3.4

对 $0.\overline{3}$ 进行 $2$ 次方运算。

$0.\overline{1} + 2 \cdot 0.\overline{1} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

解题步骤 1.3.5

将 $2$ 乘以 $0.\overline{1}$ 。

$0.\overline{1} + 0.\overline{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

解题步骤 1.3.6

将 $0.\overline{1}$ 和 $0.\overline{2}$ 相加。

$0.\overline{3} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

解题步骤 1.3.7

将 $- 19$ 乘以 $0.\overline{3}$ 。

$0.\overline{3} - 6.33333333 + 6$

解题步骤 1.3.8

从 $0.\overline{3}$ 中减去 $6.33333333$ 。

$- 6 + 6$

解题步骤 1.3.9

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$0$

解题步骤 1.4

因为 $0.\overline{3}$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $3 x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6}{3 x - 1}$

解题步骤 1.5

用 $3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$ 除以 $3 x - 1$ 。

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解题步骤 1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$19 x$

$6$

解题步骤 1.5.2

将被除数中的最高阶项 $3 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$

解题步骤 1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			+	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

解题步骤 1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$

解题步骤 1.5.7

将被除数中的最高阶项 $3 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$

解题步骤 1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$

解题步骤 1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{2} - x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

解题步骤 1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$

解题步骤 1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

解题步骤 1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 18 x$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

解题步骤 1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	+	$6$

解题步骤 1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 18 x + 6$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$

解题步骤 1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$
										$0$

解题步骤 1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + x - 6$

解题步骤 1.6

将 $3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$ 书写为因数的集合。

$f (x) = (3 x - 1) (x^{2} + x - 6)$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $1$ 。

$- 2, 3$

解题步骤 2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$f (x) = (3 x - 1) ((x - 2) (x + 3))$

解题步骤 2.2

去掉多余的括号。

$f (x) = (3 x - 1) (x - 2) (x + 3)$

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