初级微积分示例

$y^{2} = - 36 x$

解题步骤 1

将方程重写为 $- 36 x = y^{2}$ 。

$- 36 x = y^{2}$

解题步骤 2

将 $- 36 x = y^{2}$ 中的每一项除以 $- 36$ 并化简。

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解题步骤 2.1

将 $- 36 x = y^{2}$ 中的每一项都除以 $- 36$ 。

$\frac{- 36 x}{- 36} = \frac{y^{2}}{- 36}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

约去 $- 36$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 36 x}{- 36} = \frac{y^{2}}{- 36}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{y^{2}}{- 36}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{y^{2}}{36}$

解题步骤 3

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 3.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 3.1.1

对 $- \frac{y^{2}}{36}$ 进行配方。

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解题步骤 3.1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - \frac{1}{36}$

$b = 0$

$c = 0$

解题步骤 3.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 3.1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 3.1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{36})}$

解题步骤 3.1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.1.1.3.2.1

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.3.2.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{36})}$

解题步骤 3.1.1.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.1.3.2.1.2.1

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{36})}$

解题步骤 3.1.1.3.2.1.2.2

重写表达式。

$d = \frac{0}{- \frac{1}{36}}$

解题步骤 3.1.1.3.2.2

将分子乘以分母的倒数。

$d = 0 (- 1 \cdot 36)$

解题步骤 3.1.1.3.2.3

乘以 $0 (- 1 \cdot 36)$ 。

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解题步骤 3.1.1.3.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$d = 0 \cdot - 36$

解题步骤 3.1.1.3.2.3.2

将 $0$ 乘以 $- 36$ 。

$d = 0$

解题步骤 3.1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 3.1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{36})}$

解题步骤 3.1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e = 0 - \frac{0}{4 (- \frac{1}{36})}$

解题步骤 3.1.1.4.2.1.2

化简分母。

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解题步骤 3.1.1.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{36})}$

解题步骤 3.1.1.4.2.1.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{36}$ 。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{- 4}{36}}$

解题步骤 3.1.1.4.2.1.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.1.1.4.2.1.3.1

约去 $- 4$ 和 $36$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.4.2.1.3.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 (- 1)}{36}}$

解题步骤 3.1.1.4.2.1.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.1.4.2.1.3.1.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 9}}$

解题步骤 3.1.1.4.2.1.3.1.2.2

约去公因数。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 9}}$

解题步骤 3.1.1.4.2.1.3.1.2.3

重写表达式。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{- 1}{9}}$

解题步骤 3.1.1.4.2.1.3.2

将负号移到分数的前面。

$e = 0 - \frac{0}{- \frac{1}{9}}$

解题步骤 3.1.1.4.2.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$e = 0 - (0 (- 1 \cdot 9))$

解题步骤 3.1.1.4.2.1.5

乘以 $- (0 (- 1 \cdot 9))$ 。

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解题步骤 3.1.1.4.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$e = 0 - (0 \cdot - 9)$

解题步骤 3.1.1.4.2.1.5.2

将 $0$ 乘以 $- 9$ 。

$e = 0 - 0$

解题步骤 3.1.1.4.2.1.5.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e = 0 + 0$

解题步骤 3.1.1.4.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$e = 0$

解题步骤 3.1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- \frac{1}{36} y^{2}$ 。

$- \frac{1}{36} y^{2}$

解题步骤 3.1.2

将 $x$ 设为等于右边新的值。

$x = - \frac{1}{36} y^{2}$

解题步骤 3.2

使用顶点式 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - \frac{1}{36}$

$h = 0$

$k = 0$

解题步骤 3.3

因为 $a$ 的值是负数，所以抛物线开口向左。

开口向左

解题步骤 3.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(0, 0)$

解题步骤 3.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 3.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 3.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{36})}$

解题步骤 3.5.3

化简。

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解题步骤 3.5.3.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{36})}$

解题步骤 3.5.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{36})}$

解题步骤 3.5.3.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{36}$ 。

$- \frac{1}{\frac{4}{36}}$

解题步骤 3.5.3.3

约去 $4$ 和 $36$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{36}}$

解题步骤 3.5.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.3.3.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 9}}$

解题步骤 3.5.3.3.2.2

约去公因数。

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 9}}$

解题步骤 3.5.3.3.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{\frac{1}{9}}$

解题步骤 3.5.3.4

将分子乘以分母的倒数。

$- (1 \cdot 9)$

解题步骤 3.5.3.5

乘以 $- (1 \cdot 9)$ 。

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解题步骤 3.5.3.5.1

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cdot 9$

解题步骤 3.5.3.5.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$- 9$

解题步骤 3.6

求焦点。

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解题步骤 3.6.1

如果抛物线开口向左或向右，则可通过让 $p$ 加上 X 轴坐标 $h$ 求得抛物线的焦点。

$(h + p, k)$

解题步骤 3.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 9, 0)$

解题步骤 3.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$y = 0$

解题步骤 3.8

求准线。

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解题步骤 3.8.1

如果抛物线开口向左或向右，那么抛物线的准线为通过从顶点的 x 坐标 $h$ 减去 $p$ 求得的正垂线。

$x = h - p$

解题步骤 3.8.2

将 $p$ 和 $h$ 的已知值代入公式并化简。

$x = 9$

解题步骤 3.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向左

顶点： $(0, 0)$

焦点： $(- 9, 0)$

对称轴： $y = 0$

准线： $x = 9$

方向：开口向左

顶点： $(0, 0)$

焦点： $(- 9, 0)$

对称轴： $y = 0$

准线： $x = 9$

解题步骤 4

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 的值 $- 2$ 代入 $f (x) = 6 \sqrt{- 1 x}$ 。在本例中，该点为 $(- 2, 8.48528137)$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = 6 \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2) = 6 \sqrt{2}$

解题步骤 4.1.2.2

最终答案为 $6 \sqrt{2}$ 。

$y = 6 \sqrt{2}$

解题步骤 4.1.3

把 $6 \sqrt{2}$ 转换成小数。

$= 8.48528137$

解题步骤 4.2

将 $x$ 的值 $- 2$ 代入 $f (x) = - 6 \sqrt{- 1 x}$ 。在本例中，该点为 $(- 2, - 8.48528137)$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = - 6 \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

解题步骤 4.2.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2) = - 6 \sqrt{2}$

解题步骤 4.2.2.2

最终答案为 $- 6 \sqrt{2}$ 。

$y = - 6 \sqrt{2}$

解题步骤 4.2.3

把 $- 6 \sqrt{2}$ 转换成小数。

$= - 8.48528137$

解题步骤 4.3

将 $x$ 的值 $- 1$ 代入 $f (x) = 6 \sqrt{- 1 x}$ 。在本例中，该点为 $(- 1, 6)$ 。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = 6 \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = 6 \sqrt{1}$

解题步骤 4.3.2.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (- 1) = 6 \cdot 1$

解题步骤 4.3.2.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f (- 1) = 6$

解题步骤 4.3.2.4

最终答案为 $6$ 。

$y = 6$

解题步骤 4.3.3

把 $6$ 转换成小数。

$= 6$

解题步骤 4.4

将 $x$ 的值 $- 1$ 代入 $f (x) = - 6 \sqrt{- 1 x}$ 。在本例中，该点为 $(- 1, - 6)$ 。

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解题步骤 4.4.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = - 6 \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

解题步骤 4.4.2

化简结果。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = - 6 \sqrt{1}$

解题步骤 4.4.2.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (- 1) = - 6 \cdot 1$

解题步骤 4.4.2.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f (- 1) = - 6$

解题步骤 4.4.2.4

最终答案为 $- 6$ 。

$y = - 6$

解题步骤 4.4.3

把 $- 6$ 转换成小数。

$= - 6$

解题步骤 4.5

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 8.49 \\ - 2 & - 8.49 \\ - 1 & 6 \\ - 1 & - 6 \\ 0 & 0 \end{array}$

解题步骤 5

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向左

顶点： $(0, 0)$

焦点： $(- 9, 0)$

对称轴： $y = 0$

准线： $x = 9$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 8.49 \\ - 2 & - 8.49 \\ - 1 & 6 \\ - 1 & - 6 \\ 0 & 0 \end{array}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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