初级微积分示例

$4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 32 y - 12 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $12$ 。

$4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 32 y = 12$

解题步骤 2

对 $4 x^{2} + 24 x$ 进行配方。

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解题步骤 2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 4$

$b = 24$

$c = 0$

解题步骤 2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{24}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $24$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

从 $24$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (4)}$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{12}{4}$

解题步骤 2.3.2.2

约去 $12$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$d = \frac{4 \cdot 3}{4}$

解题步骤 2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$d = \frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

解题步骤 2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{3}{1}$

解题步骤 2.3.2.2.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$d = 3$

解题步骤 2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 4}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

对 $24$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 4}$

解题步骤 2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - \frac{576}{16}$

解题步骤 2.4.2.1.3

用 $576$ 除以 $16$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 36$

解题步骤 2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$e = 0 - 36$

解题步骤 2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $36$ 。

$e = - 36$

解题步骤 2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $4 {(x + 3)}^{2} - 36$ 。

$4 {(x + 3)}^{2} - 36$

解题步骤 3

在方程 $4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 32 y = 12$ 中，用 $4 {(x + 3)}^{2} - 36$ 代替 $4 x^{2} + 24 x$ 。

$4 {(x + 3)}^{2} - 36 + 16 y^{2} - 32 y = 12$

解题步骤 4

通过在等式两边同时加上 $36$ 的方法来将 $- 36$ 移到等式右边。

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 y^{2} - 32 y = 12 + 36$

解题步骤 5

对 $16 y^{2} - 32 y$ 进行配方。

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解题步骤 5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 16$

$b = - 32$

$c = 0$

解题步骤 5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 16}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $- 32$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

从 $- 32$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

解题步骤 5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 16$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (16)}$

解题步骤 5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

解题步骤 5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 16}{16}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $- 16$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $16$ 。

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16}$

解题步骤 5.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $16$ 。

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 (1)}$

解题步骤 5.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{1}$

解题步骤 5.3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$d = - 1$

解题步骤 5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 16}$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

对 $- 32$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 16}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$e = 0 - \frac{1024}{64}$

解题步骤 5.4.2.1.3

用 $1024$ 除以 $64$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 16$

解题步骤 5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$e = 0 - 16$

解题步骤 5.4.2.2

从 $0$ 中减去 $16$ 。

$e = - 16$

解题步骤 5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $16 {(y - 1)}^{2} - 16$ 。

$16 {(y - 1)}^{2} - 16$

解题步骤 6

在方程 $4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 32 y = 12$ 中，用 $16 {(y - 1)}^{2} - 16$ 代替 $16 y^{2} - 32 y$ 。

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} - 16 = 12 + 36$

解题步骤 7

通过在等式两边同时加上 $16$ 的方法来将 $- 16$ 移到等式右边。

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 12 + 36 + 16$

解题步骤 8

化简 $12 + 36 + 16$ 。

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解题步骤 8.1

将 $12$ 和 $36$ 相加。

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 48 + 16$

解题步骤 8.2

将 $48$ 和 $16$ 相加。

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 64$

解题步骤 9

将每一项除以 $64$ 以使方程右边等于一。

$\frac{4 {(x + 3)}^{2}}{64} + \frac{16 {(y - 1)}^{2}}{64} = \frac{64}{64}$

解题步骤 10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$

初级微积分 示例

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