初级微积分示例

$\sum_{i = 1}^{8} 7 {(\frac{7}{10})}^{i - 1}$

解题步骤 1

有限等比数列的和可以用公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 2.1

将 $a_{i}$ 和 $a_{i + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{7 {(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}}{7 {(\frac{7}{10})}^{i - 1}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$r = \frac{7 {(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}}{7 {(\frac{7}{10})}^{i - 1}}$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{7}{10})}^{i - 1}}$

解题步骤 2.2.2

约去 ${(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}$ 和 ${(\frac{7}{10})}^{i - 1}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 ${(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}$ 中分解出因数 ${(\frac{7}{10})}^{i - 1}$ 。

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} {(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{10})}^{i - 1}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} {(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} {(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

解题步骤 2.2.2.2.4

用 ${(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}$ 除以 $1$ 。

$r = {(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}$

解题步骤 2.2.3

将 $i$ 和 $0$ 相加。

$r = {(\frac{7}{10})}^{i - (i - 1)}$

解题步骤 2.2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.2.4.1

运用分配律。

$r = {(\frac{7}{10})}^{i - i - - 1}$

解题步骤 2.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$r = {(\frac{7}{10})}^{i - i + 1}$

解题步骤 2.2.5

从 $i$ 中减去 $i$ 。

$r = {(\frac{7}{10})}^{0 + 1}$

解题步骤 2.2.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$r = {(\frac{7}{10})}^{1}$

解题步骤 2.2.7

化简。

$r = \frac{7}{10}$

解题步骤 3

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 $7 {(\frac{7}{10})}^{i - 1}$ 以替换 $i$ 。

$a = 7 {(\frac{7}{10})}^{1 - 1}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$a = 7 {(\frac{7}{10})}^{0}$

解题步骤 3.2.2

对 $\frac{7}{10}$ 运用乘积法则。

$a = 7 \frac{7^{0}}{10^{0}}$

解题步骤 3.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = 7 \frac{1}{10^{0}}$

解题步骤 3.2.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = 7 (\frac{1}{1})$

解题步骤 3.2.5

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.5.1

约去公因数。

$a = 7 (\frac{1}{1})$

解题步骤 3.2.5.2

重写表达式。

$a = 7 \cdot 1$

解题步骤 3.2.6

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$a = 7$

解题步骤 4

将公比、首项和项数的值代入求和公式。

$7 \frac{1 - {(\frac{7}{10})}^{8}}{1 - \frac{7}{10}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $10$ .

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解题步骤 5.1.1

将 $\frac{1 - {(\frac{7}{10})}^{8}}{1 - \frac{7}{10}}$ 乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$7 (\frac{10}{10} \cdot \frac{1 - {(\frac{7}{10})}^{8}}{1 - \frac{7}{10}})$

解题步骤 5.1.2

合并。

$7 \frac{10 (1 - {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 (1 - \frac{7}{10})}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$7 \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (- \frac{7}{10})}$

解题步骤 5.3

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

将 $- \frac{7}{10}$ 中前置负号移到分子中。

$7 \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (\frac{- 7}{10})}$

解题步骤 5.3.2

约去公因数。

$7 \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (\frac{- 7}{10})}$

解题步骤 5.3.3

重写表达式。

$7 \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 - 7}$

解题步骤 5.4

化简分子。

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解题步骤 5.4.1

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$7 \frac{10 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 - 7}$

解题步骤 5.4.2

对 $\frac{7}{10}$ 运用乘积法则。

$7 \frac{10 + 10 (- \frac{7^{8}}{10^{8}})}{10 \cdot 1 - 7}$

解题步骤 5.4.3

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1

将 $- \frac{7^{8}}{10^{8}}$ 中前置负号移到分子中。

$7 \frac{10 + 10 \frac{- 7^{8}}{10^{8}}}{10 \cdot 1 - 7}$

解题步骤 5.4.3.2

从 $10^{8}$ 中分解出因数 $10$ 。

$7 \frac{10 + 10 \frac{- 7^{8}}{10 \cdot 10^{7}}}{10 \cdot 1 - 7}$

解题步骤 5.4.3.3

约去公因数。

$7 \frac{10 + 10 \frac{- 7^{8}}{10 \cdot 10^{7}}}{10 \cdot 1 - 7}$

解题步骤 5.4.3.4

重写表达式。

$7 \frac{10 + \frac{- 7^{8}}{10^{7}}}{10 \cdot 1 - 7}$

解题步骤 5.4.4

对 $7$ 进行 $8$ 次方运算。

$7 \frac{10 + \frac{- 1 \cdot 5764801}{10^{7}}}{10 \cdot 1 - 7}$

解题步骤 5.4.5

对 $10$ 进行 $7$ 次方运算。

$7 \frac{10 + \frac{- 1 \cdot 5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

解题步骤 5.4.6

将 $- 1$ 乘以 $5764801$ 。

$7 \frac{10 + \frac{- 5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

解题步骤 5.4.7

将负号移到分数的前面。

$7 \frac{10 - \frac{5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

解题步骤 5.4.8

要将 $10$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{10000000}{10000000}$ 。

$7 \frac{10 \cdot \frac{10000000}{10000000} - \frac{5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

解题步骤 5.4.9

组合 $10$ 和 $\frac{10000000}{10000000}$ 。

$7 \frac{\frac{10 \cdot 10000000}{10000000} - \frac{5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

解题步骤 5.4.10

在公分母上合并分子。

$7 \frac{\frac{10 \cdot 10000000 - 5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

解题步骤 5.4.11

化简分子。

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解题步骤 5.4.11.1

将 $10$ 乘以 $10000000$ 。

$7 \frac{\frac{100000000 - 5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

解题步骤 5.4.11.2

从 $100000000$ 中减去 $5764801$ 。

$7 \frac{\frac{94235199}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

解题步骤 5.5

化简分母。

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解题步骤 5.5.1

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$7 \frac{\frac{94235199}{10000000}}{10 - 7}$

解题步骤 5.5.2

从 $10$ 中减去 $7$ 。

$7 \frac{\frac{94235199}{10000000}}{3}$

解题步骤 5.6

将分子乘以分母的倒数。

$7 (\frac{94235199}{10000000} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 5.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.1

从 $94235199$ 中分解出因数 $3$ 。

$7 (\frac{3 (31411733)}{10000000} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 5.7.2

约去公因数。

$7 (\frac{3 \cdot 31411733}{10000000} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 5.7.3

重写表达式。

$7 (\frac{31411733}{10000000})$

解题步骤 5.8

乘以 $7 (\frac{31411733}{10000000})$ 。

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解题步骤 5.8.1

组合 $7$ 和 $\frac{31411733}{10000000}$ 。

$\frac{7 \cdot 31411733}{10000000}$

解题步骤 5.8.2

将 $7$ 乘以 $31411733$ 。

$\frac{219882131}{10000000}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{219882131}{10000000}$

小数形式：

$21.9882131$

带分数形式：

$21 \frac{9882131}{10000000}$

初级微积分 示例

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