初级微积分示例

$\sin (\frac{17 π}{12}) \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1

$\sin (\frac{17 π}{12})$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{17 π}{12}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\sin (\frac{\frac{17 π}{6}}{2}) \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.2

使用正弦半角公式。

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{2}}) \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.3

由于正弦在第三象限中为负，所以将 $\pm$ 变为 $-$ 。

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{2}}$ 。

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解题步骤 1.4.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.4

乘以 $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.4.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.6

在公分母上合并分子。

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.7

将分子乘以分母的倒数。

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.8

乘以 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.8.1

将 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.9

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.10

化简分母。

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解题步骤 1.4.10.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.10.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3

乘以 $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.2

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{3})}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{3})}}{4}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{3})}}{4}$

小数形式：

$- 0.68301270 \dots$

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