初级微积分示例

$(2 \sqrt{3 m} + 3 \sqrt{5 n}) (2 \sqrt{3 m} - 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 1

使用 FOIL 方法展开 $(2 \sqrt{3 m} + 3 \sqrt{5 n}) (2 \sqrt{3 m} - 3 \sqrt{5 n})$ 。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$2 \sqrt{3 m} (2 \sqrt{3 m} - 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m} - 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$2 \sqrt{3 m} (2 \sqrt{3 m}) + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m} - 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$2 \sqrt{3 m} (2 \sqrt{3 m}) + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 2

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

乘以 $2 \sqrt{3 m} (2 \sqrt{3 m})$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \sqrt{3 m} \sqrt{3 m} + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.1.1.2

对 $\sqrt{3 m}$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 ({\sqrt{3 m}}^{1} \sqrt{3 m}) + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.1.1.3

对 $\sqrt{3 m}$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 ({\sqrt{3 m}}^{1} {\sqrt{3 m}}^{1}) + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 {\sqrt{3 m}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 {\sqrt{3 m}}^{2} + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.1.2

将 ${\sqrt{3 m}}^{2}$ 重写为 $3 m$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 m}$ 重写成 ${(3 m)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 {({(3 m)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 {(3 m)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$4 {(3 m)}^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.4.1

约去公因数。

$4 {(3 m)}^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.1.2.4.2

重写表达式。

$4 {(3 m)}^{1} + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.1.2.5

化简。

$4 (3 m) + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.1.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 m + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.1.4

乘以 $2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n})$ 。

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解题步骤 2.1.4.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$12 m - 6 \sqrt{3 m} \sqrt{5 n} + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.1.4.2

使用根数乘积法则进行合并。

$12 m - 6 \sqrt{5 n (3 m)} + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.1.4.3

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.1.5

乘以 $3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m})$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.1.5.2

使用根数乘积法则进行合并。

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{3 m (5 n)} + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.1.5.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.1.6

乘以 $3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$ 。

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解题步骤 2.1.6.1

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 \sqrt{5 n} \sqrt{5 n}$

解题步骤 2.1.6.2

对 $\sqrt{5 n}$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 ({\sqrt{5 n}}^{1} \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.1.6.3

对 $\sqrt{5 n}$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 ({\sqrt{5 n}}^{1} {\sqrt{5 n}}^{1})$

解题步骤 2.1.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 {\sqrt{5 n}}^{1 + 1}$

解题步骤 2.1.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 {\sqrt{5 n}}^{2}$

解题步骤 2.1.7

将 ${\sqrt{5 n}}^{2}$ 重写为 $5 n$ 。

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解题步骤 2.1.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 n}$ 重写成 ${(5 n)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 {({(5 n)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 2.1.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 {(5 n)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.1.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 {(5 n)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.1.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.7.4.1

约去公因数。

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 {(5 n)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.1.7.4.2

重写表达式。

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 {(5 n)}^{1}$

解题步骤 2.1.7.5

化简。

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 (5 n)$

解题步骤 2.1.8

将 $5$ 乘以 $- 9$ 。

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 45 n$

解题步骤 2.2

将 $- 6 \sqrt{15 n m}$ 和 $6 \sqrt{15 m n}$ 相加。

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解题步骤 2.2.1

移动 $n$ 。

$12 m - 6 \sqrt{15 m n} + 6 \sqrt{15 m n} - 45 n$

解题步骤 2.2.2

将 $- 6 \sqrt{15 m n}$ 和 $6 \sqrt{15 m n}$ 相加。

$12 m + 0 - 45 n$

解题步骤 2.3

将 $12 m$ 和 $0$ 相加。

$12 m - 45 n$

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