初级微积分示例

$\sqrt{1 + {(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

解题步骤 1

将 ${(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}$ 重写为 $(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})$ 。

$\sqrt{1 + (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\sqrt{1 + x^{3} (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\sqrt{1 + x^{3} x^{3} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\sqrt{1 + x^{3} x^{3} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{1 + x^{3 + 3} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

解题步骤 3.1.1.2

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

解题步骤 3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\sqrt{1 + x^{6} - x^{3} \frac{1}{4 x^{3}} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

解题步骤 3.1.3

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.3.1

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} \cdot - 1 \frac{1}{4 x^{3}} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

解题步骤 3.1.3.2

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} \cdot - 1 \frac{1}{x^{3} \cdot 4} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

解题步骤 3.1.3.3

约去公因数。

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} \cdot - 1 \frac{1}{x^{3} \cdot 4} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

解题步骤 3.1.3.4

重写表达式。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

解题步骤 3.1.4

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.4.1

将 $- \frac{1}{4 x^{3}}$ 中前置负号移到分子中。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

解题步骤 3.1.4.2

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{x^{3} \cdot 4} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

解题步骤 3.1.4.3

约去公因数。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{x^{3} \cdot 4} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

解题步骤 3.1.4.4

重写表达式。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

解题步骤 3.1.5

将负号移到分数的前面。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

解题步骤 3.1.6

乘以 $- \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})$ 。

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解题步骤 3.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 \frac{1}{4 x^{3}} \frac{1}{4 x^{3}}}$

解题步骤 3.1.6.2

将 $\frac{1}{4 x^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 x^{3}} \cdot \frac{1}{4 x^{3}}}$

解题步骤 3.1.6.3

将 $\frac{1}{4 x^{3}}$ 乘以 $\frac{1}{4 x^{3}}$ 。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 x^{3} (4 x^{3})}}$

解题步骤 3.1.6.4

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{3} x^{3}}}$

解题步骤 3.1.6.5

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.1.6.5.1

移动 $x^{3}$ 。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 (x^{3} x^{3})}}$

解题步骤 3.1.6.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{3 + 3}}}$

解题步骤 3.1.6.5.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

解题步骤 3.2

从 $- \frac{1}{4}$ 中减去 $\frac{1}{4}$ 。

$\sqrt{1 + x^{6} - 2 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{16 x^{6}}}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{1 + x^{6} + 2 (- 1) \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

解题步骤 4.1.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{1 + x^{6} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

解题步骤 4.1.1.3

约去公因数。

$\sqrt{1 + x^{6} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

解题步骤 4.1.1.4

重写表达式。

$\sqrt{1 + x^{6} - 1 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{16 x^{6}}}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 1 (\frac{1}{2})$ 重写为 $- (\frac{1}{2})$ 。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

解题步骤 4.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{x^{6} + \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

解题步骤 4.2.2

在公分母上合并分子。

$\sqrt{x^{6} + \frac{2 - 1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

解题步骤 4.2.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\sqrt{x^{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

解题步骤 4.2.4

重新排序项。

$\sqrt{x^{6} + \frac{1}{16 x^{6}} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 5

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.1

重新整理项。

$\sqrt{x^{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

解题步骤 5.2

将 $x^{6}$ 重写为 ${(x^{3})}^{2}$ 。

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

解题步骤 5.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{16 x^{6}}}$

解题步骤 5.4

将 $16 x^{6}$ 重写为 ${(4 x^{3})}^{2}$ 。

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}}$

解题步骤 5.5

将 $\frac{1^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{4 x^{3}})}^{2}$ 。

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + {(\frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

解题步骤 5.6

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$\frac{1}{2} = 2 \cdot x^{3} \cdot \frac{1}{4 x^{3}}$

解题步骤 5.7

重写多项式。

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + 2 \cdot x^{3} \cdot \frac{1}{4 x^{3}} + {(\frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

解题步骤 5.8

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x^{3}$ 和 $b = \frac{1}{4 x^{3}}$ 。

$\sqrt{{(x^{3} + \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

解题步骤 6

要将 $x^{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4 x^{3}}{4 x^{3}}$ 。

$\sqrt{{(x^{3} \cdot \frac{4 x^{3}}{4 x^{3}} + \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{4 x^{3}}{4 x^{3}}$ 。

$\sqrt{{(\frac{x^{3} (4 x^{3})}{4 x^{3}} + \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

解题步骤 7.2

在公分母上合并分子。

$\sqrt{{(\frac{x^{3} (4 x^{3}) + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

使用乘法的交换性质重写。

$\sqrt{{(\frac{4 x^{3} x^{3} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

解题步骤 8.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 8.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$\sqrt{{(\frac{4 (x^{3} x^{3}) + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{{(\frac{4 x^{3 + 3} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

解题步骤 8.2.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$\sqrt{{(\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

解题步骤 9

应用指数的基本规则。

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解题步骤 9.1

对 $\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}}$

解题步骤 9.2

对 $4 x^{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{4^{2} {(x^{3})}^{2}}}$

解题步骤 10

化简分母。

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解题步骤 10.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{16 {(x^{3})}^{2}}}$

解题步骤 10.2

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 10.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{16 x^{3 \cdot 2}}}$

解题步骤 10.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{16 x^{6}}}$

解题步骤 11

将 $16 x^{6}$ 重写为 ${(4 x^{3})}^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}}$

解题步骤 12

将 $\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}$ 重写为 ${(\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}})}^{2}$ 。

$\sqrt{{(\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

解题步骤 13

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}}$

初级微积分 示例

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