初级微积分示例

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x^{3} - x}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

从 $x^{3} - x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x \cdot x^{2} - x}$

解题步骤 1.1.1.2

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

解题步骤 1.1.1.3

从 $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x (x^{2} - 1)}$

解题步骤 1.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x (x^{2} - 1^{2})}$

解题步骤 1.1.3

因数。

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解题步骤 1.1.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x ((x + 1) (x - 1))}$

解题步骤 1.1.3.2

去掉多余的括号。

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x (x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

解题步骤 1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $C$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

解题步骤 1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x (x + 1) (x - 1)$ 。

$\frac{(3 x^{2} - 7 x - 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{(3 x^{2} - 7 x - 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.5.2

重写表达式。

$\frac{(3 x^{2} - 7 x - 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.6

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1

约去公因数。

$\frac{(3 x^{2} - 7 x - 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.6.2

重写表达式。

$\frac{(3 x^{2} - 7 x - 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.7

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1

约去公因数。

$\frac{(3 x^{2} - 7 x - 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.7.2

用 $3 x^{2} - 7 x - 2$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8

化简每一项。

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解题步骤 1.8.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.1.1

约去公因数。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.1.2

用 $A ((x + 1) (x - 1))$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 1.8.2.1

运用分配律。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.2.2

运用分配律。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.2.3

运用分配律。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.8.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.3.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.3.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.3.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.4

运用分配律。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.5

将 $- 1$ 移到 $A$ 的左侧。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.6

将 $- 1 A$ 重写为 $- A$ 。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.7

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.7.1

约去公因数。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.7.2

用 $(B) (x (x - 1))$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.8

运用分配律。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.9

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.10

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.11

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.12

运用分配律。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.13

使用乘法的交换性质重写。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.14

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.14.1

约去公因数。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.8.14.2

用 $(C) (x (x + 1))$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

解题步骤 1.8.15

运用分配律。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

解题步骤 1.8.16

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

解题步骤 1.8.17

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

解题步骤 1.8.18

运用分配律。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

解题步骤 1.9

化简表达式。

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解题步骤 1.9.1

移动 $B$ 。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

解题步骤 1.9.2

移动 $- A$ 。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

解题步骤 1.9.3

移动 $- x B$ 。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$3 = A + B + C$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 7 = - 1 B + C$

解题步骤 2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 2 = - 1 A$

解题步骤 2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $- 2 = - 1 A$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $- 1 A = - 2$ 。

$- 1 A = - 2$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

解题步骤 3.1.2

将 $- 1 A = - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $- 1 A = - 2$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

解题步骤 3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{A}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

解题步骤 3.1.2.2.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{- 2}{- 1}$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

$A = \frac{- 2}{- 1}$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

解题步骤 3.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.2.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$A = 2$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

$A = 2$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

$A = 2$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

$A = 2$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $2$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $2$ 替换 $3 = A + B + C$ 中所有出现的 $A$ .

$3 = (2) + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

去掉圆括号。

$3 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

$3 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

$3 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

解题步骤 3.3

在 $3 = 2 + B + C$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $2 + B + C = 3$ 。

$2 + B + C = 3$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$B + C = 3 - 2$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

解题步骤 3.3.2.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$B = 3 - 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

解题步骤 3.3.2.3

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $1 - C$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $1 - C$ 替换 $- 7 = - 1 B + C$ 中所有出现的 $B$ .

$- 7 = - 1 (1 - C) + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 $- 1 (1 - C) + C$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

运用分配律。

$- 7 = - 1 \cdot 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 7 = - 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

解题步骤 3.4.2.1.1.3

乘以 $- 1 (- C)$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 7 = - 1 + 1 C + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

解题步骤 3.4.2.1.1.3.2

将 $C$ 乘以 $1$ 。

$- 7 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $C$ 和 $C$ 相加。

$- 7 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

解题步骤 3.5

在 $- 7 = - 1 + 2 C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $- 1 + 2 C = - 7$ 。

$- 1 + 2 C = - 7$

$B = 1 - C$

$A = 2$

解题步骤 3.5.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 C = - 7 + 1$

$B = 1 - C$

$A = 2$

解题步骤 3.5.2.2

将 $- 7$ 和 $1$ 相加。

$2 C = - 6$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$2 C = - 6$

$B = 1 - C$

$A = 2$

解题步骤 3.5.3

将 $2 C = - 6$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.5.3.1

将 $2 C = - 6$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 6}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 2$

解题步骤 3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 6}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 2$

解题步骤 3.5.3.2.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{- 6}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$C = \frac{- 6}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$C = \frac{- 6}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 2$

解题步骤 3.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.3.1

用 $- 6$ 除以 $2$ 。

$C = - 3$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$C = - 3$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$C = - 3$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$C = - 3$

$B = 1 - C$

$A = 2$

解题步骤 3.6

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $- 3$ 。

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解题步骤 3.6.1

使用 $- 3$ 替换 $B = 1 - C$ 中所有出现的 $C$ .

$B = 1 - (- 3)$

$C = - 3$

$A = 2$

解题步骤 3.6.2

化简右边。

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解题步骤 3.6.2.1

化简 $1 - (- 3)$ 。

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解题步骤 3.6.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$B = 1 + 3$

$C = - 3$

$A = 2$

解题步骤 3.6.2.1.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$B = 4$

$C = - 3$

$A = 2$

$B = 4$

$C = - 3$

$A = 2$

$B = 4$

$C = - 3$

$A = 2$

$B = 4$

$C = - 3$

$A = 2$

解题步骤 3.7

列出所有解。

$B = 4, C = - 3, A = 2$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{2}{x} + \frac{4}{x + 1} + \frac{- 3}{x - 1}$

初级微积分 示例

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