初级微积分示例

$\tan (\arcsin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\frac{x}{2})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\tan (\arcsin (\frac{x}{2}))$ 为 $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ 。

$\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

解题步骤 2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

解题步骤 3

合并分数。

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解题步骤 3.1

合并。

$\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

解题步骤 3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{x}{2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

解题步骤 4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{x}{2}$ 。

$\frac{x}{2 \sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}}$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}}$

解题步骤 4.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})}}$

解题步骤 4.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})}}$

解题步骤 4.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}}}$

解题步骤 4.4

将 $\frac{2 + x}{2}$ 乘以 $\frac{2 - x}{2}$ 。

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}}}$

解题步骤 4.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}}}$

解题步骤 4.6

将 $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ 。

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解题步骤 4.6.1

从 $(2 + x) (2 - x)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}}$

解题步骤 4.6.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}}$

解题步骤 4.6.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}}$

解题步骤 4.7

从根式下提出各项。

$\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)})}$

解题步骤 4.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 。

$\frac{x}{2 \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}}$

解题步骤 5

组合 $2$ 和 $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$ 。

$\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}}$

解题步骤 6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$ 。

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解题步骤 6.1.1

约去公因数。

$\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}}$

解题步骤 6.1.2

重写表达式。

$\frac{x}{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{1}}$

解题步骤 6.2

用 $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 除以 $1$ 。

$\frac{x}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

解题步骤 7

将 $\frac{x}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ 。

$\frac{x}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

解题步骤 8

合并和化简分母。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{x}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ 。

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

解题步骤 8.2

对 $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

解题步骤 8.3

对 $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} {\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1}}$

解题步骤 8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}}$

解题步骤 8.6

将 ${\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}$ 重写为 $(2 + x) (2 - x)$ 。

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解题步骤 8.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 重写成 ${((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{({((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.6.4.1

约去公因数。

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.6.4.2

重写表达式。

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{1}}$

解题步骤 8.6.5

化简。

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

初级微积分 示例

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