初级微积分示例

$\frac{\frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x^{2} - 1}}{\frac{2 x^{2} + 5 x + 2}{x^{2} + x - 2}}$

解题步骤 1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{2 x^{2} + 5 x + 2}$

解题步骤 2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ 并且它们的和为 $b = - 3$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$\frac{2 x^{2} - 3 (x) - 2}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{2 x^{2} + 5 x + 2}$

解题步骤 2.1.2

把 $- 3$ 重写为 $1$ 加 $- 4$

$\frac{2 x^{2} + (1 - 4) x - 2}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{2 x^{2} + 5 x + 2}$

解题步骤 2.1.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{2 x^{2} + 5 x + 2}$

解题步骤 2.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} + x - 4 x - 2}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{2 x^{2} + 5 x + 2}$

解题步骤 2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(2 x^{2} + x) - 4 x - 2}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{2 x^{2} + 5 x + 2}$

解题步骤 2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{2 x^{2} + 5 x + 2}$

解题步骤 2.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{2 x^{2} + 5 x + 2}$

解题步骤 3

化简分母。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{x^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{2 x^{2} + 5 x + 2}$

解题步骤 3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{2 x^{2} + 5 x + 2}$

解题步骤 4

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $1$ 。

$- 1, 2$

解题步骤 4.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{2 x^{2} + 5 x + 2}$

解题步骤 5

分组因式分解。

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解题步骤 5.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ 并且它们的和为 $b = 5$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{2 x^{2} + 5 (x) + 2}$

解题步骤 5.1.2

把 $5$ 重写为 $1$ 加 $4$

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{2 x^{2} + (1 + 4) x + 2}$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{2 x^{2} + 1 x + 4 x + 2}$

解题步骤 5.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{2 x^{2} + x + 4 x + 2}$

解题步骤 5.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{(2 x^{2} + x) + 4 x + 2}$

解题步骤 5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{x (2 x + 1) + 2 (2 x + 1)}$

解题步骤 5.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{(2 x + 1) (x + 2)}$

解题步骤 6

约去 $2 x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

约去公因数。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{(2 x + 1) (x + 2)}$

解题步骤 6.2

重写表达式。

$\frac{x - 2}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 7

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

从 $(x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$\frac{x - 2}{(x - 1) (x + 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 7.2

约去公因数。

$\frac{x - 2}{(x - 1) (x + 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 7.3

重写表达式。

$\frac{x - 2}{x + 1} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

解题步骤 8

将 $\frac{x - 2}{x + 1}$ 乘以 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 。

$\frac{(x - 2) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)}$

解题步骤 9

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1

约去公因数。

$\frac{(x - 2) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)}$

解题步骤 9.2

重写表达式。

$\frac{x - 2}{x + 1}$

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