初级微积分示例

$\sec^{2} (x) - 2 \tan (x) = 4$

解题步骤 1

使用基于 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式的 $1 + \tan^{2} (x)$ 替换 $\sec^{2} (x)$ 。

$(1 + \tan^{2} (x)) - 2 \tan (x) = 4$

解题步骤 2

重新排列多项式。

$\tan^{2} (x) - 2 \tan (x) + 1 = 4$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $\tan (x)$ 。

${(u)}^{2} - 2 u + 1 = 4$

解题步骤 4

从等式两边同时减去 $4$ 。

$u^{2} - 2 u + 1 - 4 = 0$

解题步骤 5

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$u^{2} - 2 u - 3 = 0$

解题步骤 6

使用 AC 法来对 $u^{2} - 2 u - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 6.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 3) (u + 1) = 0$

解题步骤 7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

解题步骤 8

将 $u - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 8.1

将 $u - 3$ 设为等于 $0$ 。

$u - 3 = 0$

解题步骤 8.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$u = 3$

解题步骤 9

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 9.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 9.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 10

最终解为使 $(u - 3) (u + 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 3, - 1$

解题步骤 11

代入 $\tan (x)$ 替换 $u$ 。

$\tan (x) = 3, - 1$

解题步骤 12

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\tan (x) = 3$

$\tan (x) = - 1$

解题步骤 13

在 $\tan (x) = 3$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (3)$

解题步骤 13.2

化简右边。

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解题步骤 13.2.1

计算 $\arctan (3)$ 。

$x = 1.24904577$

解题步骤 13.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

解题步骤 13.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 13.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

解题步骤 13.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

解题步骤 13.4.3

将 $3.14159265$ 和 $1.24904577$ 相加。

$x = 4.39063842$

解题步骤 13.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 13.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 13.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 13.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 13.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 13.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

在 $\tan (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 14.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 1)$

解题步骤 14.2

化简右边。

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解题步骤 14.2.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 14.3

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{4} - π$

解题步骤 14.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 14.4.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 14.4.2

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 14.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 14.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 14.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 14.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 14.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 14.6

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 14.6.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + π$

解题步骤 14.6.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 14.6.3

合并分数。

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解题步骤 14.6.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 14.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 14.6.4

化简分子。

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解题步骤 14.6.4.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 14.6.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{4}$

解题步骤 14.6.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 14.7

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 15

列出所有解。

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 16

合并解集。

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解题步骤 16.1

将 $1.24904577 + π n$ 和 $4.39063842 + π n$ 合并为 $1.24904577 + π n$ 。

$x = 1.24904577 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 16.2

将 $\frac{3 π}{4} + π n$ 和 $\frac{3 π}{4} + π n$ 合并为 $\frac{3 π}{4} + π n$ 。

$x = 1.24904577 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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