初级微积分示例

$6 e^{2 x} + 5 e^{x} - 4 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $e^{2 x}$ 重写为 ${(e^{x})}^{2}$ 。

$6 {(e^{x})}^{2} + 5 e^{x} - 4 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = e^{x}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $e^{x}$ 。

$6 u^{2} + 5 u - 4 = 0$

解题步骤 1.3

分组因式分解。

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解题步骤 1.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ 并且它们的和为 $b = 5$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

从 $5 u$ 中分解出因数 $5$ 。

$6 u^{2} + 5 (u) - 4 = 0$

解题步骤 1.3.1.2

把 $5$ 重写为 $- 3$ 加 $8$

$6 u^{2} + (- 3 + 8) u - 4 = 0$

解题步骤 1.3.1.3

运用分配律。

$6 u^{2} - 3 u + 8 u - 4 = 0$

$6 u^{2} - 3 u + 8 u - 4 = 0$

解题步骤 1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(6 u^{2} - 3 u) + 8 u - 4 = 0$

解题步骤 1.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$3 u (2 u - 1) + 4 (2 u - 1) = 0$

$3 u (2 u - 1) + 4 (2 u - 1) = 0$

解题步骤 1.3.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u - 1$ 来因式分解多项式。

$(2 u - 1) (3 u + 4) = 0$

$(2 u - 1) (3 u + 4) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(2 e^{x} - 1) (3 e^{x} + 4) = 0$

$(2 e^{x} - 1) (3 e^{x} + 4) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 e^{x} - 1 = 0$

$3 e^{x} + 4 = 0$

解题步骤 3

将 $2 e^{x} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 e^{x} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 e^{x} - 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $2 e^{x} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 e^{x} = 1$

解题步骤 3.2.2

将 $2 e^{x} = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $2 e^{x} = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用 $e^{x}$ 除以 $1$ 。

$e^{x} = \frac{1}{2}$

$e^{x} = \frac{1}{2}$

$e^{x} = \frac{1}{2}$

$e^{x} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 3.2.4

展开左边。

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解题步骤 3.2.4.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 3.2.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 3.2.4.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (\frac{1}{2})$

$x = \ln (\frac{1}{2})$

$x = \ln (\frac{1}{2})$

$x = \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 4

将 $3 e^{x} + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $3 e^{x} + 4$ 设为等于 $0$ 。

$3 e^{x} + 4 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $3 e^{x} + 4 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$3 e^{x} = - 4$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3 e^{x}) = \ln (- 4)$

解题步骤 4.2.3

因为 $\ln (- 4)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 4.2.4

$3 e^{x} = - 4$ 无解

无解

无解

无解

解题步骤 5

最终解为使 $(2 e^{x} - 1) (3 e^{x} + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \ln (\frac{1}{2})$

小数形式：

$x = - 0.69314718 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$