初级微积分示例

$2 \cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{3}$

解题步骤 1

将 $2 \cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{3}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $2 \cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{3}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.1.2

用 $\cos (\frac{x}{2})$ 除以 $1$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 3

化简右边。

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解题步骤 3.1

$\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6}$

解题步骤 4

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

解题步骤 5.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \frac{π}{6}$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{π}{2 (3)}$

解题步骤 5.2.1.2

约去公因数。

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.2.1.3

重写表达式。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 6

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{6}$

解题步骤 7

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{6})$

解题步骤 7.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{6})$

解题步骤 7.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 (2 π - \frac{π}{6})$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

化简 $2 (2 π - \frac{π}{6})$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = 2 (2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

解题步骤 7.2.2.1.2

化简项。

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解题步骤 7.2.2.1.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

解题步骤 7.2.2.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 7.2.2.1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.2.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 6 - π}{2 (3)}$

解题步骤 7.2.2.1.2.3.2

约去公因数。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.2.1.2.3.3

重写表达式。

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{3}$

解题步骤 7.2.2.1.3

化简分子。

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解题步骤 7.2.2.1.3.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{12 π - π}{3}$

解题步骤 7.2.2.1.3.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{11 π}{3}$

解题步骤 8

求 $\cos (\frac{x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 8.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 8.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 8.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 9

$\cos (\frac{x}{2})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{11 π}{3} + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

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