初级微积分示例

$2 x - 5 = \sqrt{x + 4}$

解题步骤 1

因为根式位于方程的右边，所以要交换两边以便使其位于方程的左边。

$\sqrt{x + 4} = 2 x - 5$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x + 4}}^{2} = {(2 x - 5)}^{2}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 4}$ 重写成 ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 5)}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 5)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 5)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x + 4)}^{1} = {(2 x - 5)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

化简。

$x + 4 = {(2 x - 5)}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(2 x - 5)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 ${(2 x - 5)}^{2}$ 重写为 $(2 x - 5) (2 x - 5)$ 。

$x + 4 = (2 x - 5) (2 x - 5)$

解题步骤 3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 5) (2 x - 5)$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

运用分配律。

$x + 4 = 2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)$

解题步骤 3.3.1.2.2

运用分配律。

$x + 4 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5)$

解题步骤 3.3.1.2.3

运用分配律。

$x + 4 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

解题步骤 3.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$x + 4 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

解题步骤 3.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$x + 4 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

解题步骤 3.3.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x + 4 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

解题步骤 3.3.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x + 4 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

解题步骤 3.3.1.3.1.4

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$x + 4 = 4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

解题步骤 3.3.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$x + 4 = 4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5$

解题步骤 3.3.1.3.1.6

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$x + 4 = 4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25$

解题步骤 3.3.1.3.2

从 $- 10 x$ 中减去 $10 x$ 。

$x + 4 = 4 x^{2} - 20 x + 25$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$4 x^{2} - 20 x + 25 = x + 4$

解题步骤 4.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$4 x^{2} - 20 x + 25 - x = 4$

解题步骤 4.2.2

从 $- 20 x$ 中减去 $x$ 。

$4 x^{2} - 21 x + 25 = 4$

解题步骤 4.3

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$4 x^{2} - 21 x + 25 - 4 = 0$

解题步骤 4.3.2

从 $25$ 中减去 $4$ 。

$4 x^{2} - 21 x + 21 = 0$

解题步骤 4.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.5

将 $a = 4$ 、 $b = - 21$ 和 $c = 21$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 21)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 4.6

化简。

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解题步骤 4.6.1

化简分子。

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解题步骤 4.6.1.1

对 $- 21$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 4 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 4.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 21$ 。

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解题步骤 4.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 16 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 4.6.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $21$ 。

$x = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 336}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 4.6.1.3

从 $441$ 中减去 $336$ 。

$x = \frac{21 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 4.6.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{21 \pm \sqrt{105}}{8}$

解题步骤 4.7

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{21 + \sqrt{105}}{8}, \frac{21 - \sqrt{105}}{8}$

解题步骤 5

排除不能使 $2 x - 5 = \sqrt{x + 4}$ 成立的解。

$x = \frac{21 + \sqrt{105}}{8}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{21 + \sqrt{105}}{8}$

小数形式：

$x = 3.90586884 \dots$

初级微积分 示例

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