初级微积分示例

$x^{4} + 15 x^{3} + 40 x^{2} - 39 x + 55 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{4} + 15 x^{3} + 40 x^{2} - 39 x + 55$ 。

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解题步骤 1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 55, \pm 5, \pm 11$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 55, \pm 5, \pm 11$

解题步骤 1.1.3

代入 $- 5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 5$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $- 5$ 代入多项式。

${(- 5)}^{4} + 15 {(- 5)}^{3} + 40 {(- 5)}^{2} - 39 \cdot - 5 + 55$

解题步骤 1.1.3.2

对 $- 5$ 进行 $4$ 次方运算。

$625 + 15 {(- 5)}^{3} + 40 {(- 5)}^{2} - 39 \cdot - 5 + 55$

解题步骤 1.1.3.3

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$625 + 15 \cdot - 125 + 40 {(- 5)}^{2} - 39 \cdot - 5 + 55$

解题步骤 1.1.3.4

将 $15$ 乘以 $- 125$ 。

$625 - 1875 + 40 {(- 5)}^{2} - 39 \cdot - 5 + 55$

解题步骤 1.1.3.5

从 $625$ 中减去 $1875$ 。

$- 1250 + 40 {(- 5)}^{2} - 39 \cdot - 5 + 55$

解题步骤 1.1.3.6

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1250 + 40 \cdot 25 - 39 \cdot - 5 + 55$

解题步骤 1.1.3.7

将 $40$ 乘以 $25$ 。

$- 1250 + 1000 - 39 \cdot - 5 + 55$

解题步骤 1.1.3.8

将 $- 1250$ 和 $1000$ 相加。

$- 250 - 39 \cdot - 5 + 55$

解题步骤 1.1.3.9

将 $- 39$ 乘以 $- 5$ 。

$- 250 + 195 + 55$

解题步骤 1.1.3.10

将 $- 250$ 和 $195$ 相加。

$- 55 + 55$

解题步骤 1.1.3.11

将 $- 55$ 和 $55$ 相加。

$0$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 5$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{4} + 15 x^{3} + 40 x^{2} - 39 x + 55}{x + 5}$

解题步骤 1.1.5

用 $x^{4} + 15 x^{3} + 40 x^{2} - 39 x + 55$ 除以 $x + 5$ 。

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解题步骤 1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

解题步骤 1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

解题步骤 1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

解题步骤 1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{4} + 5 x^{3}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

解题步骤 1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

解题步骤 1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

解题步骤 1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $10 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

解题步骤 1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

解题步骤 1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $10 x^{3} + 50 x^{2}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

解题步骤 1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

解题步骤 1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

解题步骤 1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 10 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

解题步骤 1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

解题步骤 1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 10 x^{2} - 50 x$ 中的所有符号

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

解题步骤 1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

$11 x$

解题步骤 1.1.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

$11 x$

$55$

解题步骤 1.1.5.17

将被除数中的最高阶项 $11 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$11$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

$11 x$

$55$

解题步骤 1.1.5.18

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$11$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

$11 x$

$55$

$11 x$

$55$

解题步骤 1.1.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $11 x + 55$ 中的所有符号

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$11$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

$11 x$

$55$

$11 x$

$55$

解题步骤 1.1.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$11$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

$11 x$

$55$

$11 x$

$55$

$0$

解题步骤 1.1.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11$

解题步骤 1.1.6

将 $x^{4} + 15 x^{3} + 40 x^{2} - 39 x + 55$ 书写为因数的集合。

$(x + 5) (x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11) = 0$

解题步骤 1.2

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 11$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 11$

解题步骤 1.2.1.3

代入 $- 11$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 11$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.2.1.3.1

将 $- 11$ 代入多项式。

${(- 11)}^{3} + 10 {(- 11)}^{2} - 10 \cdot - 11 + 11$

解题步骤 1.2.1.3.2

对 $- 11$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1331 + 10 {(- 11)}^{2} - 10 \cdot - 11 + 11$

解题步骤 1.2.1.3.3

对 $- 11$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1331 + 10 \cdot 121 - 10 \cdot - 11 + 11$

解题步骤 1.2.1.3.4

将 $10$ 乘以 $121$ 。

$- 1331 + 1210 - 10 \cdot - 11 + 11$

解题步骤 1.2.1.3.5

将 $- 1331$ 和 $1210$ 相加。

$- 121 - 10 \cdot - 11 + 11$

解题步骤 1.2.1.3.6

将 $- 10$ 乘以 $- 11$ 。

$- 121 + 110 + 11$

解题步骤 1.2.1.3.7

将 $- 121$ 和 $110$ 相加。

$- 11 + 11$

解题步骤 1.2.1.3.8

将 $- 11$ 和 $11$ 相加。

$0$

解题步骤 1.2.1.4

因为 $- 11$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 11$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11}{x + 11}$

解题步骤 1.2.1.5

用 $x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11$ 除以 $x + 11$ 。

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解题步骤 1.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$11$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$11$

解题步骤 1.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$

解题步骤 1.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			+	$x^{3}$	+	$11 x^{2}$

解题步骤 1.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 11 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$

解题步骤 1.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$

解题步骤 1.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$

解题步骤 1.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$

解题步骤 1.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$11 x$

解题步骤 1.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} - 11 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$

解题步骤 1.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$
							+	$x$

解题步骤 1.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$
							+	$x$	+	$11$

解题步骤 1.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$
							+	$x$	+	$11$

解题步骤 1.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$
							+	$x$	+	$11$
							+	$x$	+	$11$

解题步骤 1.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x + 11$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$
							+	$x$	+	$11$
							-	$x$	-	$11$

解题步骤 1.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$
							+	$x$	+	$11$
							-	$x$	-	$11$
										$0$

解题步骤 1.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - x + 1$

解题步骤 1.2.1.6

将 $x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11$ 书写为因数的集合。

$(x + 5) ((x + 11) (x^{2} - x + 1)) = 0$

解题步骤 1.2.2

去掉多余的括号。

$(x + 5) (x + 11) (x^{2} - x + 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

$x + 11 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

解题步骤 3

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 4

将 $x + 11$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x + 11$ 设为等于 $0$ 。

$x + 11 = 0$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $11$ 。

$x = - 11$

解题步骤 5

将 $x^{2} - x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x^{2} - x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - x + 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 1$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3

化简。

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解题步骤 5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6

最终解为使 $(x + 5) (x + 11) (x^{2} - x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 5, - 11, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

初级微积分 示例

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