初级微积分示例

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$

解题步骤 1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$

解题步骤 2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) = \ln (\frac{x - 1}{2 x + 1})$

解题步骤 3

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$\frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x - 1}{2 x + 1}$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将第一个分数的分子乘以第二个分数的分母。使其等于第一个分数的分母与第二个分数的分子的乘积。

$(x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 4.2.1

化简 $(x - 2) (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

重写。

$0 + 0 + (x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

解题步骤 4.2.1.2

通过加上各个零进行化简。

$(x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

解题步骤 4.2.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 4.2.1.3.1

运用分配律。

$x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

解题步骤 4.2.1.3.2

运用分配律。

$x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

解题步骤 4.2.1.3.3

运用分配律。

$x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

解题步骤 4.2.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

解题步骤 4.2.1.4.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1.4.1.2.1

移动 $x$ 。

$2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

解题步骤 4.2.1.4.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

解题步骤 4.2.1.4.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} + x - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

解题步骤 4.2.1.4.1.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$2 x^{2} + x - 4 x - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

解题步骤 4.2.1.4.1.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} + x - 4 x - 2 = (x + 2) (x - 1)$

解题步骤 4.2.1.4.2

从 $x$ 中减去 $4 x$ 。

$2 x^{2} - 3 x - 2 = (x + 2) (x - 1)$

解题步骤 4.2.2

化简 $(x + 2) (x - 1)$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x - 1)$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

运用分配律。

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x (x - 1) + 2 (x - 1)$

解题步骤 4.2.2.1.2

运用分配律。

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x \cdot x + x \cdot - 1 + 2 (x - 1)$

解题步骤 4.2.2.1.3

运用分配律。

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x \cdot x + x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.2.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} + x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - 1 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.2.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - x + 2 x + 2 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.2.2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - x + 2 x - 2$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $- x$ 和 $2 x$ 相加。

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} + x - 2$

解题步骤 4.2.3

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.2.3.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$2 x^{2} - 3 x - 2 - x^{2} = x - 2$

解题步骤 4.2.3.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$2 x^{2} - 3 x - 2 - x^{2} - x = - 2$

解题步骤 4.2.3.3

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$x^{2} - 3 x - 2 - x = - 2$

解题步骤 4.2.3.4

从 $- 3 x$ 中减去 $x$ 。

$x^{2} - 4 x - 2 = - 2$

解题步骤 4.2.4

在等式两边都加上 $2$ 。

$x^{2} - 4 x - 2 + 2 = 0$

解题步骤 4.2.5

合并 $x^{2} - 4 x - 2 + 2$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$x^{2} - 4 x + 0 = 0$

解题步骤 4.2.5.2

将 $x^{2} - 4 x$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} - 4 x = 0$

解题步骤 4.2.6

从 $x^{2} - 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x - 4 x = 0$

解题步骤 4.2.6.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x + x \cdot - 4 = 0$

解题步骤 4.2.6.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x - 4) = 0$

解题步骤 4.2.7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 4 = 0$

解题步骤 4.2.8

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.2.9

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.9.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 4.2.9.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 4.2.10

最终解为使 $x (x - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 4$

解题步骤 5

排除不能使 $\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$ 成立的解。

$x = 4$

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