初级微积分示例

$\ln (x) + \ln (x + 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (x (x + 6)) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\ln (x \cdot x + x \cdot 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

解题步骤 1.3

化简表达式。

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解题步骤 1.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (x^{2} + x \cdot 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

解题步骤 1.3.2

将 $6$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (9)$ 。

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{\ln (9)}{2}$

解题步骤 2.2

将 $\ln (9)$ 重写为 $\ln (3^{2})$ 。

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{\ln (3^{2})}{2}$

解题步骤 2.3

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{2})$ 。

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{2 \ln (3)}{2}$

解题步骤 2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

约去公因数。

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{2 \ln (3)}{2}$

解题步骤 2.4.2

用 $\ln (3)$ 除以 $1$ 。

$\ln (x^{2} + 6 x) = \ln (3)$

解题步骤 3

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$x^{2} + 6 x = 3$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x^{2} + 6 x - 3 = 0$

解题步骤 4.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.3

将 $a = 1$ 、 $b = 6$ 和 $c = - 3$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

化简分子。

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解题步骤 4.4.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ 。

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解题步骤 4.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.3

将 $36$ 和 $12$ 相加。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.4

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.4.1.4.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.4.3

化简 $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 3 \pm 2 \sqrt{3}$

解题步骤 4.5

最终答案为两个解的组合。

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}, - 3 - 2 \sqrt{3}$

解题步骤 5

排除不能使 $\ln (x) + \ln (x + 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$ 成立的解。

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}$

小数形式：

$x = 0.46410161 \dots$

初级微积分 示例

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