初级微积分示例

$\cot (x) \cos^{2} (x) = 2 \cot (x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $2 \cot (x)$ 。

$\cot (x) \cos^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

解题步骤 2

化简等式左边。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \cos^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

解题步骤 2.1.2

乘以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

组合 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $\cos^{2} (x)$ 。

$\frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

解题步骤 2.1.2.2

通过指数相加将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

解题步骤 2.1.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} - 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 2.1.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 2.1.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

从 $\cos^{3} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 2.2.2

分离分数。

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \cot (x) - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 2.2.4

用 $\cos^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) \cot (x) - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 2.2.5

分离分数。

$\cos^{2} (x) \cot (x) - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = 0$

解题步骤 2.2.6

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\cos^{2} (x) \cot (x) - (\frac{2}{1} \cdot \cot (x)) = 0$

解题步骤 2.2.7

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) \cot (x) - (2 \cot (x)) = 0$

解题步骤 2.2.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos^{2} (x) \cot (x) - 2 \cot (x) = 0$

解题步骤 3

从 $\cos^{2} (x) \cot (x) - 2 \cot (x)$ 中分解出因数 $\cot (x)$ 。

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解题步骤 3.1

从 $\cos^{2} (x) \cot (x)$ 中分解出因数 $\cot (x)$ 。

$\cot (x) \cos^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

解题步骤 3.2

从 $- 2 \cot (x)$ 中分解出因数 $\cot (x)$ 。

$\cot (x) \cos^{2} (x) + \cot (x) \cdot - 2 = 0$

解题步骤 3.3

从 $\cot (x) \cos^{2} (x) + \cot (x) \cdot - 2$ 中分解出因数 $\cot (x)$ 。

$\cot (x) (\cos^{2} (x) - 2) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cot (x) = 0$

$\cos^{2} (x) - 2 = 0$

解题步骤 5

将 $\cot (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\cot (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cot (x) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\cot (x) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (0)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

$arccot (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.3

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4

化简 $π + \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 5.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

解题步骤 5.2.4.3.2

将 $2 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 5.2.5

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 5.2.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 5.2.6

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $\cos^{2} (x) - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\cos^{2} (x) - 2$ 设为等于 $0$ 。

$\cos^{2} (x) - 2 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\cos^{2} (x) - 2 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$\cos^{2} (x) = 2$

解题步骤 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 6.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cos (x) = \sqrt{2}$

解题步骤 6.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cos (x) = - \sqrt{2}$

解题步骤 6.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cos (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 6.2.4

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = \sqrt{2}$

$\cos (x) = - \sqrt{2}$

解题步骤 6.2.5

在 $\cos (x) = \sqrt{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.5.1

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $\sqrt{2}$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 6.2.6

在 $\cos (x) = - \sqrt{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.6.1

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $- \sqrt{2}$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 7

最终解为使 $\cot (x) (\cos^{2} (x) - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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