初级微积分示例

$\sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

解题步骤 1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π}{6}$

解题步骤 3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6} + \frac{π}{4}$

解题步骤 3.2

要将 $\frac{π}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

解题步骤 3.3

要将 $\frac{π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{π}{6}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.4.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.4.3

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

解题步骤 3.4.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2 + π \cdot 3}{12}$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{x}{2} = \frac{2 \cdot π + π \cdot 3}{12}$

解题步骤 3.6.2

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π + 3 \cdot π}{12}$

解题步骤 3.6.3

将 $2 π$ 和 $3 π$ 相加。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{12}$

解题步骤 4

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{12}$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{12}$

解题步骤 5.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \frac{5 π}{12}$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{5 π}{2 (6)}$

解题步骤 5.2.1.2

约去公因数。

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.2.1.3

重写表达式。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 6

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 7

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

化简 $π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 7.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.1.2

合并分数。

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解题步骤 7.1.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.1.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 7.1.3

化简分子。

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解题步骤 7.1.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 7.1.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 7.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.2

要将 $\frac{5 π}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.3

要将 $\frac{π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 7.2.4.1

将 $\frac{5 π}{6}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.2.4.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.2.4.3

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.4.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

解题步骤 7.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2 + π \cdot 3}{12}$

解题步骤 7.2.6

化简分子。

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解题步骤 7.2.6.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{10 π + π \cdot 3}{12}$

解题步骤 7.2.6.2

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{x}{2} = \frac{10 π + 3 \cdot π}{12}$

解题步骤 7.2.6.3

将 $10 π$ 和 $3 π$ 相加。

$\frac{x}{2} = \frac{13 π}{12}$

解题步骤 7.3

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{12}$

解题步骤 7.4

化简方程的两边。

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解题步骤 7.4.1

化简左边。

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解题步骤 7.4.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{12}$

解题步骤 7.4.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \frac{13 π}{12}$

解题步骤 7.4.2

化简右边。

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解题步骤 7.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.2.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{13 π}{2 (6)}$

解题步骤 7.4.2.1.2

约去公因数。

$x = 2 \frac{13 π}{2 \cdot 6}$

解题步骤 7.4.2.1.3

重写表达式。

$x = \frac{13 π}{6}$

解题步骤 8

求 $\sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ 的周期。

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解题步骤 8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 8.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 8.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 8.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 9

$\sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{6} + 4 π n, \frac{13 π}{6} + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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