初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{2} + x - 30}{x - 7}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{2} + x - 30}{x - 7}$ 无定义。

$x = 7$

解题步骤 2

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 3

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 4

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 5.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 30$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 30$ ，和为 $1$ 。

$- 5, 6$

解题步骤 5.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 5) (x + 6)}{x - 7}$

解题步骤 5.2

展开 $(x - 5) (x + 6)$ 。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$\frac{x (x + 6) - 5 (x + 6)}{x - 7}$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6 - 5 (x + 6)}{x - 7}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6 - 5 x - 5 \cdot 6}{x - 7}$

解题步骤 5.2.4

将 $x$ 和 $6$ 重新排序。

$\frac{x \cdot x + 6 x - 5 x - 5 \cdot 6}{x - 7}$

解题步骤 5.2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x + 6 x - 5 x - 5 \cdot 6}{x - 7}$

解题步骤 5.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x + 6 x - 5 x - 5 \cdot 6}{x - 7}$

解题步骤 5.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{1 + 1} + 6 x - 5 x - 5 \cdot 6}{x - 7}$

解题步骤 5.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} + 6 x - 5 x - 5 \cdot 6}{x - 7}$

解题步骤 5.2.9

将 $- 5$ 乘以 $6$ 。

$\frac{x^{2} + 6 x - 5 x - 30}{x - 7}$

解题步骤 5.2.10

从 $6 x$ 中减去 $5 x$ 。

$\frac{x^{2} + x - 30}{x - 7}$

解题步骤 5.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$7$

$x^{2}$

$x$

$30$

解题步骤 5.4

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$
	$x$	-	$7$		$x^{2}$	+	$x$	-	$30$

解题步骤 5.5

将新的商式项乘以除数。

				$x$
$x$	-	$7$		$x^{2}$	+	$x$	-	$30$
			+	$x^{2}$	-	$7 x$

解题步骤 5.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} - 7 x$ 中的所有符号

				$x$
$x$	-	$7$		$x^{2}$	+	$x$	-	$30$
			-	$x^{2}$	+	$7 x$

解题步骤 5.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$
$x$	-	$7$		$x^{2}$	+	$x$	-	$30$
			-	$x^{2}$	+	$7 x$
					+	$8 x$

解题步骤 5.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x$
$x$	-	$7$		$x^{2}$	+	$x$	-	$30$
			-	$x^{2}$	+	$7 x$
					+	$8 x$	-	$30$

解题步骤 5.9

将被除数中的最高阶项 $8 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x$	+	$8$
$x$	-	$7$		$x^{2}$	+	$x$	-	$30$
			-	$x^{2}$	+	$7 x$
					+	$8 x$	-	$30$

解题步骤 5.10

将新的商式项乘以除数。

				$x$	+	$8$
$x$	-	$7$		$x^{2}$	+	$x$	-	$30$
			-	$x^{2}$	+	$7 x$
					+	$8 x$	-	$30$
					+	$8 x$	-	$56$

解题步骤 5.11

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $8 x - 56$ 中的所有符号

				$x$	+	$8$
$x$	-	$7$		$x^{2}$	+	$x$	-	$30$
			-	$x^{2}$	+	$7 x$
					+	$8 x$	-	$30$
					-	$8 x$	+	$56$

解题步骤 5.12

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$	+	$8$
$x$	-	$7$		$x^{2}$	+	$x$	-	$30$
			-	$x^{2}$	+	$7 x$
					+	$8 x$	-	$30$
					-	$8 x$	+	$56$
							+	$26$

解题步骤 5.13

最终答案为商加上余数除以除数。

$x + 8 + \frac{26}{x - 7}$

解题步骤 5.14

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = x + 8$

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 7$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = x + 8$

解题步骤 7

初级微积分 示例

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