初级微积分示例

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 38 x^{2} - 2 x + 37$

解题步骤 1

将 $x^{4} - 2 x^{3} + 38 x^{2} - 2 x + 37$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} - 2 x^{3} + 38 x^{2} - 2 x + 37 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$- 2 x^{3} - 2 x + x^{4} + 38 x^{2} + 37 = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $- 2 x^{3} - 2 x$ 中分解出因数 $- 2 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $- 2 x$ 。

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x + x^{4} + 38 x^{2} + 37 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 2 x$ 。

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{4} + 38 x^{2} + 37 = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $- 2 x (x^{2}) - 2 x (1)$ 中分解出因数 $- 2 x$ 。

$- 2 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 38 x^{2} + 37 = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- 2 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 38 x^{2} + 37 = 0$

解题步骤 2.1.4

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$- 2 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 38 u + 37 = 0$

解题步骤 2.1.5

使用 AC 法来对 $u^{2} + 38 u + 37$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $37$ ，和为 $38$ 。

$1, 37$

解题步骤 2.1.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$- 2 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 37) = 0$

解题步骤 2.1.6

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 37) = 0$

解题步骤 2.1.7

从 $- 2 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 37)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 2.1.7.1

从 $- 2 x (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$(x^{2} + 1) (- 2 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 37) = 0$

解题步骤 2.1.7.2

从 $(x^{2} + 1) (- 2 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 37)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$(x^{2} + 1) (- 2 x + x^{2} + 37) = 0$

解题步骤 2.1.8

重新排序项。

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 2 x + 37) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} + 1 = 0$

$x^{2} - 2 x + 37 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 2.3.2.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 2.3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 2.3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 2.3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 2.4

将 $x^{2} - 2 x + 37$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2} - 2 x + 37$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 2 x + 37 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 2 x + 37 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = 37$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 37)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3

化简。

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解题步骤 2.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 37$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $37$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 148}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $148$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 144}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.4

将 $- 144$ 重写为 $- 1 (144)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 144}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (144)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.7

将 $144$ 重写为 $12^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 12}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.9

将 $12$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 12 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 12 i}{2}$

解题步骤 2.4.2.3.3

化简 $\frac{2 \pm 12 i}{2}$ 。

$x = 1 \pm 6 i$

解题步骤 2.4.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = 1 + 6 i, 1 - 6 i$

解题步骤 2.5

最终解为使 $(x^{2} + 1) (x^{2} - 2 x + 37) = 0$ 成立的所有值。

$x = i, - i, 1 + 6 i, 1 - 6 i$

解题步骤 3

初级微积分 示例

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