初级微积分示例

$f (x) = x^{4} + 5 x^{2} + 4$

解题步骤 1

将 $x^{4} + 5 x^{2} + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} + 5 x^{2} + 4 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$u^{2} + 5 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 2.2

使用 AC 法来对 $u^{2} + 5 u + 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $4$ ，和为 $5$ 。

$1, 4$

解题步骤 2.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u + 1) (u + 4) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

$u + 4 = 0$

解题步骤 2.4

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 2.5

将 $u + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $u + 4$ 设为等于 $0$ 。

$u + 4 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$u = - 4$

解题步骤 2.6

最终解为使 $(u + 1) (u + 4) = 0$ 成立的所有值。

$u = - 1, - 4$

解题步骤 2.7

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = - 1$

${(x^{2})}^{1} = - 4$

解题步骤 2.8

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 2.9

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 2.9.2

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 2.9.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.9.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 2.9.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 2.9.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 2.10

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = - 4$

解题步骤 2.11

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.11.1

去掉圆括号。

$x^{2} = - 4$

解题步骤 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

解题步骤 2.11.3

化简 $\pm \sqrt{- 4}$ 。

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解题步骤 2.11.3.1

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

解题步骤 2.11.3.2

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 2.11.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 2.11.3.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 2.11.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 2$

解题步骤 2.11.3.6

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 2 i$

解题步骤 2.11.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.11.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2 i$

解题步骤 2.11.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2 i$

解题步骤 2.11.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2 i, - 2 i$

解题步骤 2.12

$x^{4} + 5 x^{2} + 4 = 0$ 的解是 $x = i, - i, 2 i, - 2 i$ 。

$x = i, - i, 2 i, - 2 i$

解题步骤 3

初级微积分 示例

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