初级微积分示例

$x^{3} + 7 x^{2} - 16 x + 18$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

$q = \pm 1$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

${(- 9)}^{3} + 7 {(- 9)}^{2} - 16 \cdot - 9 + 18$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = - 9$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 9$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 729 + 7 {(- 9)}^{2} - 16 \cdot - 9 + 18$

解题步骤 4.1.2

对 $- 9$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 729 + 7 \cdot 81 - 16 \cdot - 9 + 18$

解题步骤 4.1.3

将 $7$ 乘以 $81$ 。

$- 729 + 567 - 16 \cdot - 9 + 18$

解题步骤 4.1.4

将 $- 16$ 乘以 $- 9$ 。

$- 729 + 567 + 144 + 18$

解题步骤 4.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 729$ 和 $567$ 相加。

$- 162 + 144 + 18$

解题步骤 4.2.2

将 $- 162$ 和 $144$ 相加。

$- 18 + 18$

解题步骤 4.2.3

将 $- 18$ 和 $18$ 相加。

$0$

解题步骤 5

因为 $- 9$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x + 9$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{x^{3} + 7 x^{2} - 16 x + 18}{x + 9}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$

解题步骤 6.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$

	$1$

解题步骤 6.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(- 9)$ 并将 $(- 9)$ 的结果置于被除数 $(7)$ 的下一项下方。

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$
	$1$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$
	$1$	$- 2$

解题步骤 6.5

将结果 $(- 2)$ 中的最新项乘以除数 $(- 9)$ 并将 $(18)$ 的结果置于被除数 $(- 16)$ 的下一项下方。

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$
	$1$	$- 2$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$
	$1$	$- 2$	$2$

解题步骤 6.7

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(- 9)$ 并将 $(- 18)$ 的结果置于被除数 $(18)$ 的下一项下方。

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$	$- 18$
	$1$	$- 2$	$2$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$	$- 18$
	$1$	$- 2$	$2$	$0$

解题步骤 6.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$1 x^{2} + - 2 x + 2$

解题步骤 6.10

化简商多项式。

$x^{2} - 2 x + 2$

解题步骤 7

求解方程以求出所有其余根。

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解题步骤 7.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 7.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.3

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

解题步骤 7.3.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ 。

$x = 1 \pm i$

解题步骤 7.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 7.4.1

化简分子。

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解题步骤 7.4.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 7.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.3

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

解题步骤 7.4.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ 。

$x = 1 \pm i$

解题步骤 7.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 1 + i$

解题步骤 7.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 7.5.1

化简分子。

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解题步骤 7.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 7.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.3

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

解题步骤 7.5.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ 。

$x = 1 \pm i$

解题步骤 7.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 1 - i$

解题步骤 7.6

最终答案为两个解的组合。

$x = 1 + i, 1 - i$

解题步骤 8

多项式可写成一组线性因式。

$(x + 9) (x - 1 - i) (x - 1 + i)$

解题步骤 9

这些是多项式 $x^{3} + 7 x^{2} - 16 x + 18$ 的根（零点）。

$x = - 9, 1 + i, 1 - i$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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