初级微积分示例

$4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$

解题步骤 1

使用有理根检验法因式分解 $4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$ 。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

解题步骤 1.3

代入 $0.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $0.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.3.1

将 $0.5$ 代入多项式。

$4 \cdot {0.5}^{3} + 4 \cdot {0.5}^{2} - 7 \cdot 0.5 + 2$

解题步骤 1.3.2

对 $0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \cdot 0.125 + 4 \cdot {0.5}^{2} - 7 \cdot 0.5 + 2$

解题步骤 1.3.3

将 $4$ 乘以 $0.125$ 。

$0.5 + 4 \cdot {0.5}^{2} - 7 \cdot 0.5 + 2$

解题步骤 1.3.4

对 $0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$0.5 + 4 \cdot 0.25 - 7 \cdot 0.5 + 2$

解题步骤 1.3.5

将 $4$ 乘以 $0.25$ 。

$0.5 + 1 - 7 \cdot 0.5 + 2$

解题步骤 1.3.6

将 $0.5$ 和 $1$ 相加。

$1.5 - 7 \cdot 0.5 + 2$

解题步骤 1.3.7

将 $- 7$ 乘以 $0.5$ 。

$1.5 - 3.5 + 2$

解题步骤 1.3.8

从 $1.5$ 中减去 $3.5$ 。

$- 2 + 2$

解题步骤 1.3.9

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$0$

解题步骤 1.4

因为 $0.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2}{2 x - 1}$

解题步骤 1.5

用 $4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$ 除以 $2 x - 1$ 。

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解题步骤 1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$2$

解题步骤 1.5.2

将被除数中的最高阶项 $4 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$

解题步骤 1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			+	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{3} - 2 x^{2}$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

解题步骤 1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$

解题步骤 1.5.7

将被除数中的最高阶项 $6 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$

解题步骤 1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $6 x^{2} - 3 x$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$

解题步骤 1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$

解题步骤 1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 4 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$

解题步骤 1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$
							-	$4 x$	+	$2$

解题步骤 1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 4 x + 2$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$
							+	$4 x$	-	$2$

解题步骤 1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$
							+	$4 x$	-	$2$
										$0$

解题步骤 1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 x^{2} + 3 x - 2$

解题步骤 1.6

将 $4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$ 书写为因数的集合。

$(2 x - 1) (2 x^{2} + 3 x - 2)$

解题步骤 2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ 并且它们的和为 $b = 3$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$(2 x - 1) (2 x^{2} + 3 (x) - 2)$

解题步骤 2.1.1.2

把 $3$ 重写为 $- 1$ 加 $4$

$(2 x - 1) (2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2)$

解题步骤 2.1.1.3

运用分配律。

$(2 x - 1) (2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2)$

解题步骤 2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(2 x - 1) ((2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2)$

解题步骤 2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(2 x - 1) (x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1))$

解题步骤 2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 1$ 来因式分解多项式。

$(2 x - 1) ((2 x - 1) (x + 2))$

解题步骤 2.2

去掉多余的括号。

$(2 x - 1) (2 x - 1) (x + 2)$

解题步骤 3

合并同类因式。

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解题步骤 3.1

对 $2 x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

${(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1) (x + 2)$

解题步骤 3.2

对 $2 x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

${(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1} (x + 2)$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(2 x - 1)}^{1 + 1} (x + 2)$

解题步骤 3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(2 x - 1)}^{2} (x + 2)$

初级微积分 示例

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