初级微积分示例

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10$

解题步骤 1

将 $x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10$ 设为等于 $0$ 。

$x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

解题步骤 2.1.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

${(- 1)}^{3} + 12 {(- 1)}^{2} + 21 \cdot - 1 + 10$

解题步骤 2.1.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 + 12 {(- 1)}^{2} + 21 \cdot - 1 + 10$

解题步骤 2.1.1.3.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1 + 12 \cdot 1 + 21 \cdot - 1 + 10$

解题步骤 2.1.1.3.4

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 12 + 21 \cdot - 1 + 10$

解题步骤 2.1.1.3.5

将 $- 1$ 和 $12$ 相加。

$11 + 21 \cdot - 1 + 10$

解题步骤 2.1.1.3.6

将 $21$ 乘以 $- 1$ 。

$11 - 21 + 10$

解题步骤 2.1.1.3.7

从 $11$ 中减去 $21$ 。

$- 10 + 10$

解题步骤 2.1.1.3.8

将 $- 10$ 和 $10$ 相加。

$0$

解题步骤 2.1.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.5

用 $x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$21 x$

$10$

解题步骤 2.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$

解题步骤 2.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$

解题步骤 2.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $11 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$

解题步骤 2.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$11 x^{2}$	+	$11 x$

解题步骤 2.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $11 x^{2} + 11 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$

解题步骤 2.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$10 x$

解题步骤 2.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$10 x$	+	$10$

解题步骤 2.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $10 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$10 x$	+	$10$

解题步骤 2.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							+	$10 x$	+	$10$

解题步骤 2.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $10 x + 10$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$

解题步骤 2.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$
										$0$

解题步骤 2.1.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + 11 x + 10$

解题步骤 2.1.1.6

将 $x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10$ 书写为因数的集合。

$(x + 1) (x^{2} + 11 x + 10) = 0$

解题步骤 2.1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 11 x + 10$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 11 x + 10$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $10$ ，和为 $11$ 。

$1, 10$

解题步骤 2.1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 1) ((x + 1) (x + 10)) = 0$

解题步骤 2.1.2.2

去掉多余的括号。

$(x + 1) (x + 1) (x + 10) = 0$

解题步骤 2.1.3

合并同类因式。

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解题步骤 2.1.3.1

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 1) (x + 1) (x + 10) = 0$

解题步骤 2.1.3.2

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 1) (x + 1) (x + 10) = 0$

解题步骤 2.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(x + 1)}^{1 + 1} (x + 10) = 0$

解题步骤 2.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(x + 1)}^{2} (x + 10) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x + 10 = 0$

解题步骤 2.3

将 ${(x + 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 ${(x + 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x + 1)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.3.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.4

将 $x + 10$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x + 10$ 设为等于 $0$ 。

$x + 10 = 0$

解题步骤 2.4.2

从等式两边同时减去 $10$ 。

$x = - 10$

解题步骤 2.5

最终解为使 ${(x + 1)}^{2} (x + 10) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, - 10$

解题步骤 3

初级微积分 示例

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