初级微积分示例

$f (x) = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ 写为等式。

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{9}{y^{2}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{9}{y^{2}} = x$ 。

$\frac{9}{y^{2}} = x$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y^{2}, 1$

解题步骤 3.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y^{2}$

解题步骤 3.3

将 $\frac{9}{y^{2}} = x$ 中的每一项乘以 $y^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{9}{y^{2}} = x$ 中的每一项乘以 $y^{2}$ 。

$\frac{9}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

重写表达式。

$9 = x y^{2}$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $x y^{2} = 9$ 。

$x y^{2} = 9$

解题步骤 3.4.2

将 $x y^{2} = 9$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $x y^{2} = 9$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{9}{x}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{9}{x}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{9}{x}$

解题步骤 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{9}{x}}$

解题步骤 3.4.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{9}{x}}$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $\sqrt{\frac{9}{x}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{x}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 3.4.4.2

化简分子。

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解题步骤 3.4.4.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 3.4.4.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{3}{\sqrt{x}}$

解题步骤 3.4.4.3

将 $\frac{3}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$y = \pm \frac{3}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 3.4.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.4.4.1

将 $\frac{3}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

解题步骤 3.4.4.4.2

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

解题步骤 3.4.4.4.3

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

解题步骤 3.4.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.4.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.4.6

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 3.4.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.4.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.4.6.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.4.4.6.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{1}}$

解题步骤 3.4.4.4.6.5

化简。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 3.4.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 3.4.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 3.4.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ 是否为 $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ 和 $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(0, \infty)$

解题步骤 5.3

求 $\frac{3 \sqrt{x}}{x}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 5.3.2

将 $\frac{3 \sqrt{x}}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 5.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(0, \infty)$

解题步骤 5.4

求 $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 5.4.1

将 $\frac{9}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 5.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 5.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 5.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.4.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5.5

由于 $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ 的定义域为 $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ 的值域又为 $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ 为 $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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